Enunciado

Encontre a derivada da função dada usando a definição. Diga quais são os domínios da função e da derivada.

f x = x + x

Passo 1

Fala aí, galerinha! 😁

Nesse problema temos que calcular a derivada da função f x = x + x

Pela definição e determinar o domínio de f e f ' .

Tem ideia de como fazemos isso? 😬

Vamos lá, para calcular f ' ( x ) pela definição vamos ter que relembrar a fórmula:

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h

Ela parece complicada, mas só parece, temos que substituir com a função que queremos, vamos lá, lembrando que

f x + h = x + h + x + h

Pronto, agora para resolver esse limite vamos ter que dá uma manipulada nele, vamos lá!!

Passo 2

Vamos destrinchar esse numerador e ver se fica simples resolver, vamos devagar pra não cometer nenhum erro:

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h

f ' x = lim h → 0 ⁡ x + h + x + h - x + x h

f ' x = lim h → 0 ⁡ x + h + x + h - x - x h

f ' x = lim h → 0 ⁡ h + x + h - x h

Agora vamos fazer algumas manipulações, primeiro vamos separar o h que tá sozinho no numerador, e o que sobrar vamos multiplicar pelo seu conjugado, já que temos uma raíz alí no meio, vamos lá, com calma:

f ' x = lim h → 0 ⁡ h + x + h - x h

f ' x = lim h → 0 ⁡ h h + x + h - x h

f ' x = lim h → 0 ⁡ 1 + x + h - x h ∙ x + h + x x + h + x

f ' x = lim h → 0 ⁡ 1 + x + h + x . x + h - x . x + h - x h x + h + x

f ' x = lim h → 0 ⁡ 1 + h h x + h + x

f ' x = lim h → 0 ⁡ 1 + 1 x + h + x

Pronto, chegamos em uma expressão simples, agora é só resolver aplicadando o valor que h tende:

f ' x = lim h → 0 ⁡ 1 + 1 x + h + x

f ' x = 1 + 1 x + 0 + x

f ' x = 1 + 1 x + x

f ' x = 1 + 1 2 x

Tranquilo até aqui? 😎

Passo 3

Agora vamos ver os domínios das duas funções:

A função f x = x + x tem domínio em 0 , ∞ , pois como temos uma raíz, x não pode assumir valores negativo, o resto ta liberado.

Já com a derivada da função, f ' x = 1 + 1 2 x , temos o domínio em 0 , ∞ , aqui além de também termos a raíz tendo a mesma limitação de f ( x ) , temos x no denominador, o que nos impede do valor x assumir 0 .

Domínio de f = 0 , ∞

Domínio de f ' = 0 , ∞

E aí! o que achou? Responde Aí! 😇

Resposta

f ' x = 1 + 1 2 x

Domínio de f = 0 , ∞

Domínio de f ' = 0 , ∞

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