Enunciado

Encontre a derivada da função dada usando a definição. Diga quais são os domínios da função e da derivada.

f x = 1,5 x 2 - x + 3,7

Passo 1

Opa, bora lá! Temos a função:

f x = 1,5 x 2 - x + 3,7

Para calcular f ' ( x ) pela definição vamos ter que relembrar a fórmula:

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h

Ela parece complicada, mas só parece, temos que substituir com a função que queremos, simplificar e calcular o limite!

Passo 2

Aqui temos:

f x = 1,5 x 2 - x + 3,7

f x + h = 1,5 x + h 2 - x + h + 3,7

Substituindo:

lim h → 0 ⁡ 1,5 x + h 2 - x + h + 3,7 - 1,5 x 2 - x + 3,7 h

Pronto, agora para resolver esse limite vamos ter que dá uma manipulada nele, vamos lá!!

Vamos destrinchar esse numerador e ver se fica simples resolver, vamos devagar pra não cometer nenhum erro:

f ' x = lim h → 0 ⁡ 1,5 x + h 2 - x + h + 3,7 - 1,5 x 2 - x + 3,7 h

= lim h → 0 ⁡ 1,5 x 2 + 2 x h + h 2 - x - h + 3,7 - 1,5 x 2 + x - 3,7 h

= lim h → 0 ⁡ 1,5 x 2 + 3 x h + 1,5 h 2 - h - 1,5 x 2 h = lim h → 0 ⁡ 3 x h + 1,5 h 2 - h h

Deixando o h em evidência:

lim h → 0 ⁡ h 3 x + 1,5 h - 1 h = l i m h → 0   3 x + 1,5 h - 1

Pronto, chegamos em uma expressão simples, agora é só resolver aplicadando o valor que h tende:

lim h → 0 ⁡ 3 x + 1,5 h - 1 = 3 x + 1,5.0 - 1 = 3 x - 1

Passo 3

Agora vamos ver os domínios das duas funções:

A função f x = 1,5 x 2 - x + 3,7 tem domínio nos reais, nenhum valor impede de retornar um valor para essa função.

A mesma coisa acontece com a derivada da função, f ' x = 3 x - 1 , ela também tem domínio nos reias.

Resposta

f ' x = 3 x - 1

Domínio de f = domínio de f ' = R .

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Nos Exercícios de 25 a 30, ache f ' ( x ) aplicando a fórmula (3).28) f x = 3 x 2 + 4
Nos Exercícios de 25 a 30, ache f ' ( x ) aplicando a fórmula (3).26) f x = 8 - 5 x
Nos Exercícios de 31 a 38, ache a derivada indicada.312) d d x ( x 3 )
Nos Exercícios de 51 a 56, ache d y d x .56)y = 1 x 3 - x
Nos Exercícios de 31 a 38, ache a derivada indicada.33) d d x ( x )