Enunciado

7 – 46 Encontre a derivada da função.

21. y = x x + 1

Passo 1

Fala aí, tudo certinho com você?

Bom, essa questão pediu para gente encontrar a derivada da função dada por:

y = x x + 1

E perceba que essa função é formada por uma função x x + 1 dentro de uma raiz quadrada. Ou seja, temos uma função dentro da outra. E podemos olhar pra ela como sendo

g x = x x + 1

Que é a função de dentro. E

y = f g = g

Como a função de fora.

A derivada da função composta é dada pela regra da cadeia. Sendo:

d y d x = d d x f g x = f ' g ⋅ g ' x

Ou seja, a derivada da função de fora multiplicada pela derivada da função de dentro.

Boa, agora basta irmos atrás de cada uma dessas parte para substituir na regra da cadeia.

Passo 2

Vamos começar derivando a função de fora. Sendo

y = f g = g

Podemos transformar essa raiz em uma potência de expoente fracionário usando a seguinte regra:

x b a = x b a

Assim:

y = f g = g 1 2

E sua derivada pode ser calculada usando a regra do expoente.

f ' g = d d g g 1 2 = 1 2 g 1 2 - 1

E teremos:

f ' g = 1 2 g - 1 2

Invertendo a potência de expoente negativo e voltando para a forma de raiz, teremos:

f ' g = 1 2 g

Maravilha.

Passo 3

Agora vamos derivar a função de dentro. Sendo

g x = x x + 1

Mas perceba que a função g é formada pela divisão de outras duas funções. Podemos pensar nelas como sendo

u = x

E

v = x + 1

Sendo assim, para fazer essa derivada precisaremos usar a regra do quociente. Ela diz que

u v ' = u ' v - u v ' v 2

Derivando u e v teremos:

u = x

Então

u ' = 1

E

v = x + 1

Então

v ' = 1

Colocando isso na regra do quociente, ficamos com:

g ' x = 1 ⋅ x + 1 - 1 ⋅ x x + 1 2

Fazendo a soma

g ' x = 1 x + 1 2

Agora já temos tudo que precisávamos.

Passo 4

Lembrando que

y = x x + 1

E fizemos:

y = f g = g

f ' g = 1 2 g

com

g x = x x + 1

E

g ' x = 1 x + 1 2

Assim, a derivada será

d y d x = f ' g ⋅ g ' x

Substituindo na equação:

f ' x = 1 2 u ⋅ 1 x + 1 2

Como

g x = x x + 1

então a derivada é igual a

f ' x = 1 2 x x + 1 ⋅ 1 x + 1 2

Podemos reescrever a expressão como

f ' x = 1 2 x + 1 x ⋅ 1 x + 1 2

Simplificando em cima e embaixo:

f ' x = y ' = 1 2 x ⋅ x + 1 3 / 2

E prontinho. Derivada devidamente calculada.

Resposta

f ' x = y ' = 1 2 x ⋅ x + 1 3 / 2

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