Encontre a derivada da função.

r(t) = 10^(2\*raiz(t))

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar a derivada da função s t = 1 + sen ⁡ t 1 + cos ⁡ t .

Observe que temos uma função composta. Então, vamos precisar usar a Regra da Cadeia na derivação. Lembra dela?

Ela diz que quando temos uma “função dentro da outra”:

r t = f g t

e queremos derivá-la, a gente faz a derivada da função de fora, aplicada na de dentro, e multiplica pela derivada da função de dentro:

r ' t = f ' g t ⋅ g ' t

Nesse caso, temos que a função de fora, é a potência:

f g t = 10 g t

Já a função de dentro é dada por:

g t = 2 t

Vamos lá!

Passo 2

Aplicando a derivada na função, temos:

r ' t = d d t 10 2 t

Derivando a função de fora, f g t = 10 g t , vamos ter:

f ' g t = 10 g t ⋅ ln ⁡ 10

Dessa forma, de acordo com a Regra da Cadeia, teremos:

r ' t = 10 g t ⋅ ln ⁡ 10 ∙ g ' ( t )

Passo 3

Mas quem é g ( t ) mesmo? É a função mais interna, g t = 2 t . Derivando essa função, vamos ter:

g ' t = 1 t

Então, substituindo g t e g ' ( t ) na equação do passo 2 , temos a derivada da nossa função:

r ' t = 10 2 t ⋅ ln ⁡ 10 ⋅ 1 t

r ' t = 10 2 t ⋅ ln ⁡ 10 t

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

r ' t = 10 2 t ⋅ ln ⁡ 10 t

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