Enunciado

Encontre a derivada. Simplifique quando possível.

f (t) = sech ² ( e^t )

Passo 1

Muito bem, antes de começar precisamos identificar que temos duas funções dentro de uma outra. E o que fazemos quando isso acontece?

Acertou quem disse a Regra da Cadeia! Mas um pouquinho diferente. Antes de relembrar vamos chamar:

u = e^t

f (u) = sech ² ( u )

Nossa, mas ainda temos uma função dentro da outra. Então vamos fazer uma nova substituição:

v = sech ( u )

f (v) = v ²

Bora relembrar agora como ficaria a Regra da Cadeia:

(d f (x))/(d t) = (d f (x))/(d v) . (d v)/(d u) . (d u)/(d t)

Derivando:

(d u)/(d t) = e^t

(d v)/(d u) = - sech (u) . tanh (u)

(d f (x))/(d v) = 2 v

Substituímos na derivada:

(d f (x))/(d t) = - 2 v . e^t . sech (u) . tanh (u)

Substituindo u e v:

(d f (x))/(d t) = - 2 sech ( u ) . e^t . sech (u) . tanh (u)

(d f (x))/(d t) = - 2 sech ( e^t ) . e^t . sech (e^t) . tanh (e^t)

Rearranjando:

(d f (x))/(d t) = - 2 e^t . sech ² (e^t) . tanh (e^t)

Resposta

f^' (x) = - 2 e^t . sech ² (e^t) . tanh (e^t)

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