Encontre a derivada. Simplifique quando possível.

y = x \* senh^(-1)(x/3) - raiz(9 + x^2)

Passo 1

Primeiro vamos dar uma arrumada nessa função:

y = x senh  - 1 ⁡ x 3 - 9 + x ² = x senh  - 1 ⁡ x 3 - 9 + x ² 1 2

Passo 2

Agora vamos analisar quais regras devemos usar para derivar essa expressão, vamos usar a fórmula da derivada de funções hiperbólicas inversas além da regra da cadeia , do polinômio e da função constante:

senh - 1 ⁡ x ' = 1 1 + x 2

F ' x = f ' g x . g ' x

x n ' = n x n - 1

c ' = 0

Passo 3

Vamos agora derivar!! Vamos usar a regra da subtração também:

y ' = x senh  - 1 ⁡ x 3 - 9 + x ² 1 2 ' = x senh  - 1 ⁡ x 3 ' - 9 + x ² 1 2 '

Vamos derivar as duas partes separadas para ficar melhor de visualizar.

Passo 4

Aqui vamos usar a regra do produto:

f x g x ' = f ' ( x ) g x + g ' x f x

Assim:

x senh  - 1 ⁡ x 3 ' = x ' . senh  - 1 ⁡ x 3 + senh  - 1 ⁡ x 3 ' . x = x 1 - 1 . senh  - 1 ⁡ x 3 + 1 1 + x 3 2 . x 3 ' . x = x 0 . senh  - 1 ⁡ x 3 + 1 1 + x 3 2 . 1 3 x 1 - 1 . x = senh  - 1 ⁡ x 3 + x 3 1 + x 3 2

Passo 5

Vamos agora derivar o segundo termo:

9 + x ² 1 2 ' = 1 2 9 + x ² 1 2 - 1 . 9 + x 2 ' = 1 2 9 + x ² - 1 2 . 0 + 2 x 2 - 1 = 1 2 9 + x ² - 1 2 . 2 x = 2 x 2 9 + x ² = x 9 + x ²

Passo 6

Agora é só substituir de volta:

y ' = x tgh - 1 ⁡ x ' + ln ⁡ 1 - x 2 1 2 ' = senh  - 1 ⁡ x 3 + x 3 1 + x 3 2 - x 9 + x 2 = senh  - 1 ⁡ x 3 + x 3 1 + x 2 9 - x 9 + x 2 = senh  - 1 ⁡ x 3 + x 3 9 + x 2 9 - x 9 + x 2 = senh  - 1 ⁡ x 3 + x 3 9 + x 2 9 - x 9 + x 2 = senh  - 1 ⁡ x 3 + x 3 9 + x 2 3 - x 9 + x 2 = senh  - 1 ⁡ x 3 + x 9 + x 2 - x 9 + x 2 = senh  - 1 ⁡ x 3

Resposta

y ' = senh  - 1 ⁡ x 3

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