Enunciado

Encontre a derivada. Simplifique quando possível.

y = tgh^(- 1) sqrt(x)

Passo 1

Primeiro vamos dar uma arrumada nessa função:

y = tgh^(- 1) sqrt(x) = tgh^(- 1) (x^((1)/(2)))

Passo 2

Agora vamos analisar quais regras devemos usar para derivar essa expressão, vamos usar a fórmula da derivada de funções hiperbólicas inversas além da regra da cadeia e do polinômio:

(tgh^(- 1) x) ' = (1)/(1 - x^2)

F ' (x) = f ' (g (x)) . g ' (x)

(x^n)^' = n x^(n - 1)

Passo 3

Vamos agora derivar!!

y^' = (tgh^(- 1) (x^((1)/(2))))^' = ((1)/(1 - (x^((1)/(2)))^2)) . (x^((1)/(2)))^' = ((1)/(1 - x^((2)/(2)))) . ((1)/(2) x^((1)/(2) - 1)) = ((1)/(1 - x)) . ((1)/(2) x^(- (1)/(2))) = (1)/(2 (1 - x) sqrt(x))

Resposta

y^' = (1)/(2 (1 - x) sqrt(x))

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