Enunciado

Encontre as dimensões do triângulo isósceles de maior área que pode ser inscrito em um círculo de raio r .

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos deu um triângulo isósceles inscrito dentro de uma circunferência de raio r e pediu pra gente encontrar a maior área possível desse triângulo.

Por dimensões do triângulo, entendemos como base e altura máximos. A única informação que o enunciado nos dá, é que o raio do círculo é r , assim podemos esboçar o desenho a seguir:

Uma das propriedades de geometria nos diz que o raio do círculo vale 2 3 da altura do triângulo inscrito nele, então nessa figura, x vale 1 3 , e r + x é igual a altura h .

O que nós vamos fazer é definir a área desse triângulo e tentar maximizar a expressão obtida, através da derivada da função.

Então, vamos lá!

Passo 2

Primeiramente, utilizando o triângulo retângulo formado na figura, temos:

r 2 = x 2 + t ²

E isolamos uma das variáveis da equação:

t 2 = r 2 - x 2

t = r 2 - x 2

Agora sabendo que a área do triângulo é dada pelo produto do lado com a altura, divido por 2 , temos:

A = t h 2

Então, substituindo h = r + x e t = r 2 - x 2 na fórmula da área, vamos ter:

A = 2 r 2 - x 2 r + x 2

A = r + x r 2 - x 2

Passo 3

Com a fórmula dependendo de apenas de uma variável, podemos encontrar seus pontos críticos. Primeiro derivando a equação, usando a regra do produto, temos:

  A ' x = r 2 - x 2 + x - 2 x 2 r 2 - x 2 + r - 2 x 2 r 2 - x 2

E igualando esse resultado a zero:

r 2 - x 2 + x - 2 x 2 r 2 - x 2 + r - 2 x 2 r 2 - x 2 = 0

Somando as frações com o mesmo denominador e simplificando:

- x 2 + r x r 2 - x 2 + r 2 - x 2 = 0

x 2 + r x r 2 - x 2 = r 2 - x 2

Multiplicando os dois lados por r 2 - x 2 :

x 2 + r x = r 2 - x 2

Temos a equação do segundo grau:

2 x 2 + r x - r 2 = 0

Fatorando essa equação, ficamos com:

2 x - r x + r

E nossas raízes serão:

x = 1 2 r

E

x = - r

Como não podemos obter raio negativo, obtemos nossa função tem um único ponto crítico, que ocorre quando nosso triângulo é máximo em x = r 2 .

Passo 4

Agora encontrando as dimensões do triângulo e sua área:

Vamos ter:

B a s e = 2 t

E substituindo t = r 2 - x 2 , com x = r 2 , temos:

B a s e = 2 r 2 - r 2 2

B a s e = 2 3 4 r 2 = 3 r

Pra calcular a altura, vamos somar o raio e a distância x :

A l t u r a = r + x

Substituindo x = r 2 :

A l t u r a = r + r 2

A l t u r a = 3 2 r

E temos as dimensões do triângulo que maximizam a nossa área.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

B a s e =   3 r

A l t u r a = 3 2 r

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