Enunciado

11. O movimento de uma partícula é ao longo de uma reta horizontal, de acordo com a equação dada, onde s cm é a distância da partícula a partir de um ponto   O , em t s. A direção positiva é à direita. Determine os intervalos de tempo em que a partícula move-se para a direita e para a esquerda. Determine também quando a partícula reverte o sentido do movimento. Mostre o comportamento do movimento através de uma figura similar à Figura 2 e escolha valores de t ao acaso, mas inclua os valores de t em que a partícula muda o sentido do movimento.

s = 2 3 t 3 + 3 2 t 2 - 2 t + 4

Passo 1

Para que alguma coisa que está se mexendo pra direita mude de direção e vá para a esquerda é necessário que em algum momento ela pare de se mexer, isso acontece exatamente quando a velocidade é zero, pois a velocidade de uma coisa parada é zero, além disso o sentido da velocidade indica o sentido do movimento. Como já foi abordado nos exercícios anteriores

d s d t = v ( t )

Então bora derivar!

Passo 2

Como s t = 2 3 t 3 + 3 2 t 2 - 2 t + 4 é polinomial sua derivada é bem tranquila olha só

s = 2 3 t 3 + 3 2 t 2 - 2 t + 4

v t = d s d t = 2 t 2 + 3 t - 2 ⇒ v t = 2 t 2 + 3 t - 2

Passo 3

Agora precisamos dos valores de t onde a partícula para de se mover

v t = 0 ⟺ 2 t 2 + 3 t - 2 = 0 ⟹ t = - 3 ± 9 + 4 ⋅ 2 ⋅ 2 2 ⋅ 2 ⟹

t = t 1 = 1 2 t 2 = - 2

Passo 4

Para estudarmos o sinal de v ( t ) usaremos métodos sofisticados do nono ano, o sinal de v ( t ) será dado dada por uma parábola y = 2 t 2 + 3 t - 2 de com cavidade pra baixo e com raízes - 2 e 1 2 .

Passo 5

Chegou a hora de montar o gráfica e ver que beleza ficou, pra isso vamos precisar dos valores de s onde a partícula muda de sentido, mas relaxa é só substituir t 1 e t 2 em s ( t )

s - 2 = 26 3

s 1 2 = 65 24

Resposta

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