Enunciado

  1. Encontre o domínio de f x = ln ⁡ e x - 3 .
  2. Encontre f - 1 e seu domínio.

Passo 1

Olá, amigo. Temos em mãos a função:

f x = ln ⁡ e x - 3

E queremos encontrar o seu domínio. O conjunto domínio de uma função é composto de todos os valores para os quais a função está definida;

Então deveremos analisar quais são os valores de x que nossa função pode receber, com base nas suas restrições.

Em relação a função inversa de f ( x ) , f - 1 , por ser a função inversa, o que temos aqui é uma inversão de quem é o domínio e imagem. O que antes era domínio de f ( x ) para ser a imagem de f - 1 , e o mesmo ocorre para a imagem de f ( x ) , que passa a ser o domínio de f - 1 .

Para encontrarmos a f - 1 , deveremos substituir y e x um pelo outro e isolarmos novamente o y .

Passo 2

  1. Temos que não é definido logaritmo natural para números negativos. Desse modo o domínio será aquele em que o argumento do ln ⁡   seja maior que 0 . Assim, podemos escrever que:
  2. e x - 3 > 0

    e x > 3

    Aplicando o ln ⁡ x em ambos os lados:

    ln ⁡ e x > ln ⁡ 3

    Com a propriedade de logaritmo, podemos escrever ln ⁡ a b = b ln ⁡ a

    x ln ⁡ e > ln ⁡ 3

    x > ln ⁡ 3

    Logo o domínio é dado pelo intervalo D ] ln ⁡ 3 , ∞ [ .

    Passo 3

  3. Para calcular a função inversa f - 1 de f ( x ) , primeiro igualamos f x = y .

f x = y = ln ⁡ e x - 3

Agora isolamos x em função de y .

Temos então:

y = ln ⁡ ( e x - 3 )

Para aproveitar uma propriedade de logaritmos, vamos aplicar e x em ambos os lados:

e y = e ln ⁡ e x - 3

Sabe-se que:

e ln ⁡ x   = x

Então:

e y = e x - 3

Aplicaremos agora o logaritmo em ambos os lados da equação:

ln ⁡ e x = ln ⁡ e y + 3

Isolando agora o x :

x = ln ⁡ ( e y + 3 )

O próximo passo é substituir y em x :

x = ln ⁡ e y + 3

y = ln ⁡ e x + 3

Assim obtemos nossa função inversa, f - 1 x = ln ⁡ ( e x + 3 ) .

Temos que não é definido logaritmo natural para números negativos. Desse modo o domínio será aquele em que o argumento do ln ⁡   seja maior que 0 . Podemos escrever então que:

e x + 3 > 0

e x > - 3

Essa condição é satisfeita para todo x pertencente aos Reais. Assim, o domínio pode ser expresso como:

D = R

Resposta

  1. ] ln ⁡ 3 , ∞ [
  2. f - 1 x = ln ⁡ ( e x + 3 ) , D = R

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