Enunciado

Use o roteiro desta seção para esboçar a curva:

y = ln ( s e n x )

Passo 1

O primeiro passo é definir o domínio D de f , isto é, o conjunto dos valores de x para os quais f ( x ) está definida. Temos neste caso que o logaritmo natural não é definido para número negativos, então podemos escrever que:

s e n x >= 0 => 0 >= x >= pi => 2 n pi >= x >= (2 n + 1) pi s e n d o n u m n ú m e r o i n t e i r o

Assim, temos que:

D = {x in I R| 2 n pi >= x >= (2 n + 1) pi }

Passo 2

Agora devemos definir as intersecções com os eixos. Para o eixo y a interseção é dada por f ( 0 ) e para o eixo x fazemos y = 0 e isolamos o x .

Assim, temos que:

f (0) n ã o e s t á d e f i n i d o

0 = ln ( s e n x ) => e^0 = e^(ln ( s e n x )) => 1 = s e n x => x = (pi)/(2)

Ou de forma genérica, podemos escrever: x = 2 n pi + (pi)/(2) , sendo n um número inteiro.

Passo 3

Devemos verificar se a função possui simetria. Temos três casos:

  1. Se f (- x) = f ( x ) para todo x em D , f é uma função par e a curva é simétrica em relação ao eixo y . Caso isso ocorra basta refletir a curva x >= 0 em torno do eixo y para obter a curva completa.
  2. Se f (- x) = - f (x) para todo x em D , f é uma função ímpar e é simétrica em relação à origem. Caso isso ocorra basta girar a curva x >= 0 em 180 g r a u s em torno da origem para obter a curva completa.
  3. Se f (x + p) = f ( x ) para todo x em D , onde p é uma constante positiva, f é uma função periódica e o menor desses números p é chamado de período. Caso isso ocorra pode-se usar a translação de um período para esboçar o gráfico inteiro.

Como a função está definida somente para x >= 0 , os casos i e ii não ocorrem.

Para o caso iii, temos:

f (x + 2 pi) = f ( x ) , logo a função é períodca com período 2 pi .

Passo 4

Devemos verificar agora se a função f possui assíntotas:

  1. Assíntota horizontal:
  2. Se underset(x -> oo)(lim) f (x) = L e underset(x -> - oo)(lim) f (x) = L , então a reta y = L é uma assíntota horizontal da curva y = f ( x ) .

    Se resultar que underset(x -> oo)(lim) f (x) = oo ( o u - oo ) , então não temos uma assíntota à direita.

  3. Assíntota vertical: a reta x = a é uma assíntota vertical se pelo menos uma das seguintes afirmativas for verdadeira:

underset(x -> a^+)(lim) f (x) = oo underset(x -> a^-)(lim) f (x) = oo

underset(x -> a^+)(lim) f (x) = - oo underset(x -> a^-)(lim) f (x) = - oo

Temos:

underset(x -> oo)(lim) ln ( s e n x ) D i v e r g e

Assim, não há assíntota horizontal .

Tomando x = 2 n pi , temos:

underset(x -> ( 2 npi )^+)(lim) ln ( s e n x ) = - oo

Tomando x = (2 n + 1) pi , temos:

underset(x -> [(2 n + 1) pi]^-)(lim) ln (s e n x) = - oo

Logo, temos assíntotas verticais ao longo do eixo em x = n pi .

Passo 5

O próximo passo é definir os intervalos de crescimento ou decrescimento da função. Calculamos f ' ( x ) e encontramos os intervalos nos quais f ' ( x ) é positiva ( f é crescente) e os intervalos nos quais f ' ( x ) é negativa ( f é decrescente) .

Derivando temos:

f^' (x) = (1)/(s e n ( x )) cos ( x ) = c o t g (x) > 0

Por consequência:

2 n pi < x < 2 n pi + (pi)/(2)

Então, f é crescente em (2 n pi , 2 n pi + (pi)/(2)) e quando f^' < 0 , 2 n pi + (pi)/(2) < x < (2 x + 1) pi e f é decrescente em ( 2 n pi + (pi)/(2) , (2 n + 1) pi ) .

Passo 6

Calcularemos agora os pontos críticos, números c em que f ' (c) = 0 ou f^' (c) n ã o e x i s t e . Aplicando o Teste da Derivada, se f ' ( x ) muda de positiva para negativa em um número crítico c , então f ( c ) é um máximo local. Se f ' ( x ) muda de negativa para postiva em c , então f ( c ) é um mínimo local.

Temos que:

f^' (x) = 0 => c o t g (x) = 0 => x = (pi)/(2)

Observamos que a equação é satisfeita de forma geral para x = 2 n pi + (pi)/(2) .Logo a função cresce antes dele e decresce depois dele, sendo então um ponto de máximo.

Passo 7

Calcularemos agora a concavidade da função f utilizando f ' ' ( x ) . Se f^(' ') (x) > 0 a função é côncava para cima e se f^(' ') (x) < 0 a função é côncava para baixo.

Assim temos que:

f^' (x) = c o t g ( x ) => f^(' ') (x) = - csc^2 ( x ) < 0

Então f é côncava para baixo com x no intervalo de ( 2 n pi , (2 n + 1) pi ) e não possui concavidade para cima.

Passo 8

Por fim, esboçando a curva obtemos:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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