Enunciado

Encontre uma equação diferencial cuja solução geral é y = c 1 e - t / 2 + c 2 e - 2 t .

Passo 1

Para resolvermos esse problema iremos fazer algo diferente do que costumamos. Vamos partir das raízes já encontradas do problema para determinar qual é a equação característica da nossa EDO. Vamos resolver juntos!!

Passo 2

Vamos começar! Temos que nossas raízes dadas no enunciado para uma EDO especifica são r 1 = - 1 / 2   e r 2 = - 2 . Podemos então supor que nossa equação característica é da forma r - r 1 ⋅ r - r 2 = 0 , como visto em outros exercícios do capitulo. Assim, temos que nossa equação característica é

r + 1 / 2 ⋅ r + 2 = 0

Se aplicarmos a distributiva para a equação característica, chegaremos na seguinte equação

r 2 + 5 / 2 r + 1 = 0

2 r 2 + 5 r + 2 = 0

Logo, a nossa EDO que satisfaz essa equação característica especifica é dada por

2 y ' ' + 5 y ' + 2 y = 0

Resposta

2 y ' ' + 5 y ' + 2 y = 0

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