Enunciado

Encontre uma equação para a hipérbole com focos ( 0 ,   - 2 ) e ( 0 ,   2 ) que passa pelo ponto ( 12 ,   7 ) .

Passo 1

Vem comigo pessoal!!

Relembrando que uma hipérbole é o conjunto de pontos em um plano cujas distâncias a partir de dois pontos fixos nesse plano têm uma diferença constante. Os dois pontos fixos são os focos da hipérbole.

A equação da forma padrão da hipérbole com foco no eixo y :

y 2 a 2 - x 2 b 2 = 1

Onde:

  • F 0 ,   ± c ;
  • c 2 = a 2 + b 2 .

Além disso, a hipérbole tem a seguinte excentricidade:

e = c a = a 2 + b 2 a

Pelo enunciado, sabemos que a hipérbole tem F 0 ,   ± 2 , ou seja:

c = ± 2

Logo:

c 2 = 4

Sabemos que excentricidade da hipérbole tem que ser e > 1 , então temos:

e = 2 a > 1 → a < 2

Passo 2

Considerando a = 1 :

b 2 = c 2 - a 2 = 4 - 1

b 2 = 3

Então temos nossa equação:

y 2 - x 2 3 = 1

Para verificarmos se a hipérbole passa pelo ponto ( 12 ,   7 ) , iremos substituir esses valores na nossa equação, e verificar se o valor final é 1:

7 2 - 12 2 3 = 1

Como a equação é verdadeira, então podemos considerar a equação encontrada.

Tchau galera!

Resposta

y 2 - x 2 3 = 1 .

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