Enunciado

Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de y = f ( x ) em x = x 0 , se:

f x = l n x

x 0 = - 2

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Mas primeiro, vamos retornar ao conceito inicial de derivada.

Por definição derivada é a inclinação da reta tangente à curva y = f ( x ) no ponto P ( a , f a ) que é definida como a reta que passa em P e tem inclinação m , se:

m = lim h → 0 ⁡ f a + h - f ( a ) h

E se forçarmos um poquinho a memória, esse limite é a definição da derivada f ' a . Então, falar que queremos a inclinação da reta, é a mesma coisa que dizer que queremos a derivada da função f em a .

Agora, vamos falar da cereja no bolo. O exercício pede a equação da reta, certo? Existe uma fórmula para isso, e pode ser dada por:

y - y o = m ( x - x 0 )

Agora, lembrando que o exercício nos fornece a função   f ( x ) e x 0 , então, por consequência nós temos a coordenada de pontos ( x 0 , y 0 ) .

Além disso, como nós já temos a função, podemos fazer a derivação e encontrar m (que é a inclinação da reta). Bora calcular ?

Passo 2

Primeiramente, nós temos a função f x = f x = l n x no ponto   x 0 = - 2 , então calcularemos a função no ponto dado:

f x = l n x

f - 2 = l n - 2 = l n ⁡ ( 2 )

Então, a nossa coordenada é ( - 2 , l n ⁡ ( 2 ) ).

A próxima coisa que faremos é calcular a derivada da função:

f x = l n x

f ' x = 1 x

Logo:

m = 1 x

Substituindo o valor de x :

m = 1 - 2

Com essas informações nós conseguimos encontrar a equação da reta.

Passo 3

Nós temos os termos x 0 , y o = - 2 , l n ⁡ ( 2 ) ;   m = 1 - 2   podemos aplicar na fórmula:

y - ( ln ⁡ 2 ) = 1 - 2 ( x - ( - 2 ) )

y - ( ln ⁡ 2 ) = 1 - 2 ( x + 2 )

Isolando o valor de y ficamos com:

y = 1 - 2 ( x + 2 ) + l n ⁡ ( 2 )

Resposta

y = 1 - 2 ( x + 2 ) + l n ⁡ ( 2 )

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35 – 46. Use a diferenciação logarítimica para achar a derivada de função.44. y = x ln ⁡ x
2 – 20. Diferencie a função.13. g x = ln ⁡ a - x a + x
2 – 20. Diferencie a função.6. f x = log 10 ⁡ x x - 1
2 – 20. Diferencie a função.15. f u = ln ⁡ u 1 + ln ⁡ 2 u
29. Se f x = x ln ⁡ x , encontre f ' e .