Enunciado

2 – 20. Diferencie a função.13. g x = ln ⁡ a - x a + x

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema foi dada a função

g x = ln ⁡ a - x a + x

E nosso objetivo é calcular sua derivada.

Parece complicado?

Analisando a função, podemos perceber que se trata de uma função composta onde a função de dentro é dada por h x = a - x a + x e a função de fora é dada por ln ⁡ h x .

Nesses casos, para calcular sua derivada podemos aplicar a regra da cadeia.

f x = g h x ,     f ' x = h ' x · g ' h x

Veja só!

Passo 2

Derivando a função do enunciado e aplicando a regra da cadeia, temos

g ' x = d ln ⁡ a - x a + x d x = d a - x a + x d x · d ln ⁡ h x d h x

Perceba que na derivada de fora, estamos tratando h x como uma variavel e a derivada da função de dentro é obtida pela regra do quociente

f x = g x h x ,     f ' x = g ' x · h x - g x · h ' x h x 2

Aplicando em g ' x

g ' x = d a - x d x · a + x - a - x · d a + x d x a + x 2 · d ln ⁡ h d h

Pela regra da potencia, temos que

d a - x d x = - 1

d a + x d x = 1

E pelo teorema fundamental do calculo, temos que

d ln ⁡ h d h = 1 h

Substituindo em g ' , temos

g ' x = - 1 · a + x - a - x · 1 a + x 2 · 1 h

g ' x = - a - x - a + x a + x 2 · 1 h

g ' x = - 2 a a + x 2 · 1 h

Não podemos deixar o resultado em função de h , então voltamos h para a - x a + x

g ' x = - 2 a a + x 2 · 1 a - x a + x

g ' x = - 2 a a + x a - x

g ' x = - 2 a a 2 - x 2

É isso! O que achou? Responde Aí!

Resposta

g ' x = - 2 a a 2 - x 2

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