Enunciado

Encontre equações para ambas as retas que são tangentes à curva y = 1 + x 3 e que são paralelas à reta 12 x - y = 1 .

Passo 1

Oiii galerinha do RA, bora resolver essa comigo?

Para encontrar as equações das retas tangentes à curva y = 1 + x 3 e paralelas à reta 12 x - y = 1 , primeiro precisamos entender alguns conceitos-chave:

As retas Tangentes são retas que tocam a curva em apenas um ponto e têm a mesma inclinação que a curva nesse ponto.

A inclinação da reta tangente a uma curva no ponto x 0 , y 0 é dada pela derivada da função nesse ponto, ou seja, f ' ( x 0 ) .

Duas retas são paralelas se tiverem a mesma inclinação. A inclinação da reta

a x + b y = c   é - a b

Passo 2

Desejamos encontrar as equações de retas tangentes à curva dada por y = 1 +   x 3 e paralelas à reta

12 x - y = 1  

y = 12 x - 1

Primeiro, devemos escrever a equação da reta na forma: y = m x + q , onde m é o coeficiente angular e q é o coeficiente linear.

Podemos ver comparando com a equação genérica que

m = 12 e q =   - 1 .

Para que duas retas sejam paralelas, elas deverão possuir o mesmo coeficiente angular. Então, já sabemos que deverá ser m = 12 .

O coeficiente angular da reta tangente à curva é obtido pela derivação da função da curva, assim:

y ' = 3 x 0 2 = m em que x 0

é a abcissa do ponto de tangência.

Passo 3

Logo, tem-se que 3 x 0 2   = m = 12 , daí temos a equação para resolver em x 0 :

x 0 2 =   12 3    

  x 0 2 =   4    

x 0 = ± 2

que são valores de x 0 pertencentes a essas retas paralelas e que tangenciam a curva nesses pontos.

Então, para x 0 = 2 temos que

y 0 = 1 +   x 0 3

= 1 +   2 3

= 9 .

Assim, um ponto é ( 2,9 ) , já para x 0 = - 2 temos

y 0 = 1 + ( - 2 ) 3 = 1 - 8 = - 7

e, assim, temos o outro ponto de tangência ( - 2 , - 7 ) .

Logo, as duas retas paralelas podem ser escritas na forma y - y ° = m ( x -   x 0 ) .

Então, para a reta tangente no ponto ( 2   ,   9 ) temos y - 9 = 12 ( x - 2 ) e para a reta tangente no ponto ( - 2   ,   - 7 ) temos:

y - - 7 = 12 x - - 2

    y + 7 = 12 ( x + 2 )

Resposta

Reta tangente no ponto ( 2   ,   9 ) y - 9 = 12 ( x - 2 )

Reta tangente no ponto ( - 2   ,   - 7 ) temos:     y + 7 = 12 ( x + 2 )

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