Enunciado

Em qual ponto sobre a curva y = 1 + 2 e x - 3 a reta tangente é paralela à reta 3 x - y = 5 ? Ilustre fazendo o gráfico da curva e de ambas as retas.

Passo 1

E aí! Tudo certinho?

Nesse problema queremos saber em que ponto da curva y = 1 + 2 e x - 3 x está a reta tangente paralela à reta 3 x - y = 5 .

Então, essa reta tangente deverá possuir o mesmo coeficiente angular m .

Pela reta y = 3 x - 5 dada, tiramos que m = 3 . Sabemos também que

m = y ' x 0 ,   y 0 = 2 e x 0 - 3

Veja só!

Passo 2

Então, teremos a seguinte equação para resolver em x 0 :

3 = 2 e x 0 - 3   →   2 e x 0 = 6

e x 0 = 3

ln ⁡ e x 0 = l n 3

x 0 l n e = l n 3

x 0 =   l n 3 l n e =   l n 3 1

x 0 =   l n 3  

Logo, pela equação da curva temos que:

y 0 = 1 + 2 e x 0 - 3 x 0

y 0 = 1 + 2 e l n 3   - 3 l n 3

y 0 = 1 + 2 3 - 3 l n 3

y 0 = 7 - 3 l n 3

Portanto, o ponto será ( ln ⁡ 3 ,   7 - 3 ln ⁡ 3   ) .

Sacou?

Passo 3

Gráfico:

E aí! Entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

( ln ⁡ 3 ,   7 - 3 ln ⁡ 3   )

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Determine os pontos na curva y = 2 x 3 - 3 x 2 - 12 x + 20 em que a tangente seja a. perpendicular à reta y = 1 - x 24 .b. paralela à reta y = 2 - 1 2 x .
A parábola y = x 2 + C deve ser tangente à reta y = x . Encontre C .
Mostre que a tangente à curva y = x 3 em qualquer ponto ( a ,a 3 ) intercepta a curva novamente em um ponto em que o coeficiente angular é quatro vezes o coeficiente angular em ( a ,a 3 ) .
Há algum ponto na curva y =x - e - x em que o coeficiente angular seja 2? Se houver, encontre-o.
Para qual valor de c a curva y = c / ( x + 1 ) é tangente à reta que passa pelos pontos ( 0 ,3 ) e ( 5 , - 2 ) ?