Enunciado

Encontre as equações de ambas as retas tangentes para a elipse x 2 + 4 y 2 = 36 que passem pelo ponto ( 12 ,   3 ) .

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar as equações de ambas as retas tangentes para a elipse x 2 + 4 y 2 = 36 que passem pelo ponto ( 12 ,   3 ) .

Para isso, vamos usar a equação da reta tangente:

y - y 0 = y ' ( x - x 0 )

Onde x 0 ,   y 0 = ( 12 ,   3 ) e y ' é a inclinação da reta tangente à elipse, encontrada através da derivada implícita da nossa equação.

Vamos lá!

Passo 2

Primeiramente, vamos derivar a equação da elipse para encontrar y ' :

d d x ( x 2 + 4 y 2 ) = d d x ( 36 )

2 x + 8 y y ' = 0

Isolando y ' , temos:

y ' = - x 4 y

Vamos considerar ( a ,   b ) como um ponto que passa pela elipse. Então, nossa derivada fica:

y ' = - a 4 b

E substituindo na equação x 2 + 4 y 2 = 36 , vamos ter:

a 2 + 4 b 2 = 36

Passo 3

Podemos encontrar a equação da reta utilizando a seguinte fórmula

y - y 0 = y ' ( x - x 0 )

Onde x 0 ,   y 0 = ( 12 ,   3 ) . Então, temos:

b - 3 = - a 4 b ( a - 12 )

4 b 2 - 12 b = - a 2 + 12 a

Assim, usando a última equação do passo 2 , junto com essa, temos o seguinte sistema:

4 b 2 - 12 b = - a 2 + 12 a a 2 + 4 b 2 = 36

Resolvendo o sistema, encontramos a seguinte relação

a + b = 3

E

a = 0

Ou

a = 24 5

Passo 4

Dessa forma, podemos encontrar as equações com base nos pontos:

0 ,   3           e         24 5 ,   - 9 5

Assim, para a = 0 e b = 3 , substituindo na inclinação da reta y ' = - a 4 b , temos que:

y ' = - 0 4 ∙ 3 = 0  

E para a = 24 5 e b = - 9 5 , vamos ter:

y ' = - 24 5 4 - 9 5

y ' = 24 36 = 2 3  

Passo 5

Substituindo y ' = 0 na equação da reta tangente ao ponto x 0 ,   y 0 = ( 12 ,   3 ) , temos:

y - y 0 = y ' ( x - x 0 )

y - 3 = 0 ( x - 12 )

y = 3

E substituindo y ' = 2 3 na equação da reta, vamos ter:

y - 3 = 2 3 ( x - 12 )

y = 2 3 x - 5

E encontramos nossas duas equações.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

y = 3

E

y = 2 3 x - 5

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