Enunciado

Encontre as equações para as retas que sejam tangente e normais à curva no ponto dado.

x + x y = 6

4,1

Passo 1

Para encontrarmo a reta tangente e a reta normal, precisamos da derivada no ponto que ele deu.

A equação da reta tangente vai ser:

y = a x + b

Onde a vai ser a derivada naquele ponto que ele deu.

A reta normal vai ser

y = m x + n

Onde essa reta é perpendicular À reta tangente, então

m . a = - 1

Tudo se resume a achar a maldita da derivada.

Mas antes de qualquer coisa, vamos verificar que o ponto de fato está na curva. Porque se não estiver a conta fica levemente grande.

Subistuindo:

x = 4 ,     y = 1

4 + 4.1 = 6

4 + 4 = 6

4 + 2 = 6

6 = 6

Ufa, deu igual dos dois lados. Vamos para a derivada implícita agora

Passo 2

Para acharmos essa derivada, temos que derivar cada lado da equação que ele deu no enunciado. E fazere a derivada implícita, lembrando que:

y = y x

Então quando derivarmos y , temos que colocar = y ' junto. Porque é a regra da cadeia.

Começando com x + x y ,

Primeiro, vamos colocar:

x y = x y 1 2 = x 1 2 y 1 2

Agora para a derivada:

x + x 1 2 y 1 2 ' = x ' + x 1 2 y 1 2 ' = 1 + x 1 2 y 1 2 '

Para aquele primeiro termo, devemos fazer a regra do produto:

x 1 2 y 1 2 ' = x 1 2 ' y 1 2 + x 1 2 y 1 2 ' = 1 2 x - 1 2 y 1 2 + x 1 2 1 2 y - 1 2 y '

Não podemos esquecer o y ' quando derivamos o y 1 2

x 1 2 y 1 2 ' = 1 2 x - 1 2 y 1 2 + 1 2 x 1 2 y - 1 2 y '

O lado esquerdo vai ficar:

1 + 1 2 x - 1 2 y 1 2 + 1 2 x 1 2 y - 1 2 y '

Passo 3

Vamos para o outro lado

6 ' = 0

Dessa forma vamos ter, na nossa equação:

1 + 1 2 x - 1 2 y 1 2 + 1 2 x 1 2 y - 1 2 y ' = 0

Vamos isolar o y '

1 2 x 1 2 y - 1 2 y ' = - 1 - 1 2 x - 1 2 y 1 2

Vamos passar o 1 2 x 1 2 y - 1 2 dividindo para o outro lado.

y ' = - 1 1 2 x 1 2 y - 1 2 - 1 2 x - 1 2 y 1 2 1 2 x 1 2 y - 1 2

Juntando as potências de x e depois as de y

y ' = - 2 x - 1 2 y 1 2 - x - 1 y

Passo 4

Agora que temos a derivada, vamos achar o valor de a da equação da tangente e de m da reta normal.

y ' 4,1 = - 2 4 - 1 2 1 1 2 - 4 - 1 1

y ' 4,1 = - 1 - 1 4

y ' 4,1 = - 5 4

Assim:

a = - 5 4

E

- 5 4 m = - 1

m = 4 5

Vamos aos outros coeficientes das duas retas

Passo 5

Reta tangente:

y = - 5 4 x + b

Reta normal:

y = 4 5 x + n

Ambas passam no ponto 4,1 , então basta fazermos:

x = 4

y = 1

Começando na tangente:

1 = - 5 4 4 + b

1 = - 5 + b

b = 6

Agora na normal:

1 = 4 5 4 + n

1 = 16 5 + n

n = 1 - 16 5

n = - 11 5

AS retas ficam:

Reta tangente:

y = - 5 4 x + 6

Reta normal:

y = 4 5 x - 11 5

Resposta

Reta tangente:

y = - 5 4 x + 6

Reta normal:

y = 4 5 x - 11 5

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