Enunciado

Determine a derivada no Exercício d d x ∫ 0 x 3 e - t   d t

a. calculando a integral e derivando o resultado.

b. derivando a integral diretamente.

Passo 1

A questão nos pede que calculemos a derivada de uma integral definida por dois modos:

  1. Primeiro integrando e depois derivando
  2. Derivando direto, para isso é preciso lembrar do Teorema Fundamental do Cálculo em que d d x ∫ a b f ( x ) ⁡ d x = f b . ( b ) '

Passo 2

Vamos resolver primeiro a letra “a” e resolver primeiro a integral:

∫ 0 x 3 e - t   d t = -   e - t 0 x 3

usamos a fórmula: ∫ e a x   d x =   1 a .   e a x

= -   e - x 3 - ( -   e 0 )

= -   e - x 3

Em seguida derivamos usando a regra da cadeia:

d d x ( -   e - x 3 )

Sendo   u = - x 3

= d d x ( -   e u ) . d d x ( - x 3 )

= ( - e u ) . ( - 3 . x 2 )

= e - x 3 . 3 . x 2

Passo 3

Agora iremos derivar direto usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

d d x ∫ 0 x 3 e - t   d t = e - x 3 . x 3 '

= e - x 3 . 3 . x 2

Resposta

d d x ∫ 0 x 3 e - t   d t = e - x 3 . 3 . x 2

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