Enunciado

Encontre equações para a tangente e para a normal à curva y = 1 + c o s x no ponto ( π / 2,1 ) .

Esboce a curva, a tangente e a normal juntas, identificando cada uma com a sua respectiva equação.

Passo 1

Para achar a equação da reta tangente usamos y = a x + b , onde a é o coeficiente angular da reta e é igual a primeira derivada da função naquele ponto e depois substituímos o ponto nesta equação. Para achar a equação da reta normal utilizamos que o produto dos coeficientes angulares de duas retas normais é igual a - 1 . Para esboçar o gráfico tomamos o gráfico de c o s x e deslocamos para cima de 1 unidade e em seguida desenhamos a reta tangente no ponto dado e uma reta normal.

Passo 2

y = 1 + c o s x

y ' = - s e n x

No ponto ( π 2 , 1 ) :

y ' = - s e n ( π 2 )

y ' = - 1

Substituindo na equação da reta, temos:

y = - x + b

Como a reta passa pelo ponto ( π 2 , 1 ) , substituímos esse ponto para achar b :

1 = - π 2 + b

b = 2 + π 2

Passo 3

Precisamos achar agora a equação da reta normal:

m 1 , m 2 = - 1

- 1 . m 2 = - 1

m 2 = 1

E temos:

y = x + b

Como a reta passa pelo ponto ( π 2 , 1 ) , substituímos esse ponto para achar b :

1 = π 2 + b

b = 2 - π 2

Resposta

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

24) Ache uma equação da reta tangente à curva y = x 3 - 3 x que é perpendicular à reta 2 x + 18 y - 9 = 0 .
23) Ache uma equação da reta tangente à curva y = 2 - 1 3 x 2 que é perpendicular à reta x - y = 0 .
22) Ache uma equação da reta tangente à curva y = 3 x 2 - 4 que é paralela à reta 3 x + y = 4 .
Encontre o coefiente angular da curva x 3 y 3 + y 2 = x + y nos pontos 1,1 , 1 , - 1
Encontre as equações para as retas que sejam tangente e normais à curva no ponto dado. x + x y = 6 4,1