Calcule a integral sem usar tabelas

∫ 0 ∞ d x 1 + x ⋅ x    

Passo 1

Se tratando de integrais impróprias, utilizamos uma mesma técnica com algumas variações

i :       ∫ a ∞ f ( x )   d x = lim b → ∞ ⁡ ∫ a b f x d x

i i :       ∫ - ∞ a f ( x )   d x = lim b → ∞ ⁡ ∫ b a f ( x )   d x

i i i :       ∫ - ∞ ∞ f ( x )   d x = ∫ - ∞ c f ( x )   d x + ∫ c ∞ f ( x )   d x   ,   c   é   u m   n ú m e r o   q u a l q u e r

Passo 2

Primeiramente vamos manipular a integral como se fôssemos resolver de forma indefinida e, depois, aplicaremos o limite como mostrado no passo acima. Dessa forma,

∫ 0 ∞ d x 1 + x ⋅ x   =

Fazendo x = u → d u d x = 1 2 x → 2 d u = x   d x . Quando x = 0 → u = 0 e quando x = ∞ → u = ∞

∫ 0 ∞ 2 d u 1 + u 2 =  

lim b → ∞ ⁡ ∫ 0 b 2 d u 1 + u 2 =   l i m b → ∞ 2 A r c t g   u b 0 =  

l i m b → ∞ 2 A r c t g   b + 2 A r c t g ( 0 ) = 2 ⋅ π 2 = π

Resposta

π

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