Encontre uma fórmula para a função inversa

y = (1 + e^x) / (1 - e^x)

Passo 1

Para encontrarmos a função inversa da função dada no enunciado, vamos seguir os seguintes passos:

Passo 1: escrever y = f x .

Passo 2: Resolva essa equação para x em termos de y , ou seja, trocando x por y e y por x (se possível).

Passo 3: a nossa função inversa vai ser dada isolando o nosso novo y .

Passo 2

O passo 1 para esse caso já está feito. Sendo assim, vamos direto para o passo 2:

y = 1 + e x 1 - e x   → x = 1 + e y 1 - e y

Passo 3

Por fim, vamos isolar esse nosso novo y para encontrarmos a função inversa

x = 1 + e y 1 - e y → x ⋅ 1 - e y = 1 + e y

x - x ⋅ e y = 1 + e y

x - 1 = x ⋅ e y + e y

x - 1 = e y ⋅ 1 + x

e y = x - 1 x + 1 → y = ln ⁡ x - 1 x + 1

Cujo domínio é dado por x > 1 .

Resposta

y = ln ⁡ x - 1 x + 1

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