Enunciado

(a) Encontre uma fórmula para a solução do problema de valor inicial e observe se ela é independente de λ .

(b) Use o método de Runge-Kutta com h   =   0,01 para calcular valores aproximados da solução em 0   ≤   t   ≤   1 para diversos valores de λ , como λ   =   1 ,   10 ,   20   e   50 .

(c) Explique as diferenças, se existirem, entre a solução exata e as aproximações numéricas.

y '   –   λ y   =   1   –   λ t ,   y ( 0 )   =   0

Passo 1

(a) Precisamos resolver um problema y '   –   λ y   =   1   –   λ t   com a condição inicial y ( 0 ) =   0 . Primeiro, resolva a equação homogênea correspondente y   ' =   λ y , teremos que a solução é:

y h = c e λ t

Agora encontre a solução específica. É da forma y p = A + B t , uma vez que deve ser uma solução do problema inicial, substituímos pelo problema para encontrar A e B .

y '   –   λ y   =   1   –   λ t

y p ' = λ y p + 1   –   λ t

B = 1   –   λ t + 1 +   λ A +   λ B

A = 0

B = 1

A solução do ODE inicial é dada como y = y h + y p , portanto, a solução geral é y t = c e λ t + t . Mas temos uma condição inicial y ( 0 ) = 0 e podemos determinar c :

y 0 = c = 0

c = 0

A solução será:

y t = t

A solução não depende de λ .

Passo 2

(b) Usaremos λ = 1 Para este problema, usaremos:

y n + 1 = y n + h k n 1 + 2 h k n 2 + k n 3 + h k n 4 6  

Podemos ter então :

t 1 = t 0 + h = 0 + 0 , 0 1

k n 1 = f t n , y n = h f 0 , 0 = 0,01

k n 2 = f t n + 0,5 h ; y n + 0,5 h k n 1 = h f 0,0 0 5 ; 0,005 = 0,01005

k n 3 = f ( t n + 0,5 h ; y n + 0,5 h k n 2 = h f 0,0 0 5 ; 0,00502 = 0,01005

k n 4 = f ( t n + h ; y n + h k n 3 = h f 0 , 0 1 ; 0,0 1 005 = 0,0101

y 1 = y 0 + h k n 1 + 2 k n 2 + k n 3 + k n 4 6 = 0,01005

Repetimos os passos até encontrar y ( 1 ) :

Passo 3

Para diversos valores de λ = 1 0,20,50 nós teremos:

Resposta

y t = t

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1 - x ' = x + y + t ,y ' = 4 x– 2 y ; x ( 0 ) = 1 , y ( 0 ) = 0
6 - x ' = exp ⁡ ( - x + y ) - cos ⁡ x ,y ' = sen ⁡ ( x - 3 y ); x ( 0 ) = 1 , y ( 0 ) = 2
3 - Considere novamente o problema de valor inicial (16) do Exemplo 2. Investigue o quão pequeno tem que ser o tamanho do passo h para garantir que o erro em t=0,05 e em t = 0,1 seja menor do que 0,00
1 - Para obter alguma ideia dos perigos possíveis de pequenos erros nas condições iniciais, taiscomo aqueles decorrentes de arredondamentos, considere o problema de valor inicial y ' = t + y -3 , y 0
2 - Considere o problema de valor inicial y ' = t 2 + e y , y 0 = 0 .Usando o método de Runge-Kutta com tamanho de passo h, obtemos os resultados na Tabela8.6.5. Esses resultados sugerem que a solução