Enunciado

Em cada um dos problemas de 1 a 13, resolva o problema de valores de contorno dado ou mostre que não tem solução:

x 2 y ″ + 5 x y ' + 4 + π 2 y = ln ⁡ x ,   y 1 = 0 ,   y ( e ) = 0

Passo 1

Devemos encontrar a solução geral da EDO homogênea, considerando que a parte homogênea é x 2 y ″ + 5 x y ' + 4 + π 2 y = 0 do tipo y = x r , então, quando substituímos na equação diferencial:

r r - 1 + 5 r + 4 + π 2 = 0

Resolvendo o problema, teremos duas raízes complexas:

r = - 2 ± π i

Expressando x em termos de e ln ⁡ x e usando o método de Euler representando número complexos:

x r 1 = x - 2 + π i = 1 x 2 e l n x π i = 1 x 2 e π ln ⁡ x i

x r 2 = x - 2 - π i = 1 x 2 e l n x - π i = 1 x 2 e - π ln ⁡ x i

Independente da raiz, nossa solução homogênea pode ser dada por:

y h = 1 x 2 c 1 cos ⁡ π ln ⁡ x + c 2 sen ⁡ π ln ⁡ x

A solução particular pode ser dada por:

y p = k 1 ln ⁡ x + k 0

Substituindo teremos:

- k 1 + 5 k 1 + 4 + π 2 k 1 ln ⁡ x + 4 + π 2 k 0 = ln ⁡ x

Por consequência:

k 1 = 1 4 + π 2 ; k 0 = - 4 4 + π 2 2

A solução geral será dada por:

1 x 2 c 1 cos ⁡ π ln ⁡ x + c 2 sen ⁡ π ln ⁡ x + k 1 ln ⁡ x + k 0

As condições de limite são incompatível y ( e ) = 0 , pois não é possível resolver c 2 e c 1 , já que não pode assumir o mesmo valor de antes.

Resposta

Sem solução.

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