Enunciado

Encontre as funções (a) f   o   g   , (b) g   o   f , (c) f   o   f , (d) g   o   g , e seus domínios

f x = x ,     g x = 1 - x 3

Passo 1

Fala aí! tudo certinho? 😁

Bom, temos que encontrar a composição das funções f x = x e g x = 1 - x 3 em alguma de suas “formas”: f   o   g , g   o   f , f   o   f , g   o   g .

Temos que encontrar também o domínio de cada uma.

Lembra como fazemos isso? 🤔

Para obter uma função composta, temos que substituir a variavel da primeira função pela segunda função inteira...

Vale lembrar que não temos problema com números negativos dentro de raízes ímpares (como a raiz cúbica da nossa g ), porém há problemas com a raiz quadrada da f .

Veja só! 😉

Passo 2

Sabendo disso, vamos encontrar a primeira composição (a) f   o   g . Temos que substituir todo x   de f pela função inteira de g , assim:

f   o   g = f g x = 1 - x 3

Aqui, vamos substituir as raízes por potências (expoentes com fração), para entendermos melhor o problema. Lembrando: x = x 1 2 e x 3 = x 1 3 , por exemplo. Assim:

1 - x 3 = 1 - x 1 3 1 2

Aqui, multiplicamos os expoentes:

f g x = 1 - x 1 3 1 2

f g x = 1 - x 1 6

f g x = 1 - x 6

Como a raiz é par, 1 - x deve ser positivo:

1 - x ≥ 0

1 ≥ x

x ≤ 1

O domínio, então, é:

D o m = x ∈ R x ≤ 1

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Beleza, agora para (b) g   o   f faremos o mesmo processo de substituição, agora trocando todo x   de g pela função de f :

g   o   f = g f x = 1 - x 3

Como sabemos, a raiz cúbica pode receber termos negativos, então temos que nos preocupar apenas com a raiz quadrada. A variável “x” deve ser positiva.

Assim, o domínio é:

D o m = x ∈ R x ≥ 0

Legal, né? 😎

Passo 4

Beleza, falta agora (c) f   o   f , trocar os x de f pela função inteira de f:

f   o   f = x

Trocando novamente as raízes por potências, fica:

f   o   f = x 1 2 1 2

f   o   f = x 1 4

f   o   f = x 4

Hm, temos uma raiz par, que só pode receber valores positivos. Então o domínio é:

D o m = x ∈ R x ≥ 0

Bacana, não é? 😊

Passo 5

Por último, para descobrir (d) g   o   g :

g   o   g = 1 - 1 - x 3 3

Como a raiz ímpar pode receber valores negativos, o domínio está nos reais! Fim!

D o m = x ∈ R

E aí! entendeu tudo? Responde Aí! 😊

Resposta

  1. f   o   g = 1 - x 6 , D o m = x ∈ R x ≤ 1
  2. g   o   f = 1 - x 3 , D o m = x ∈ R x ≥ 0

(c) f   o   f = x 4 , D o m = x ∈ R x ≥ 0

(d) g   o   g = 1 - 1 - x 3 3 , D o m = x ∈ R

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