Enunciado

  1. Encontre os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente.
  2. Encontre os valores de máximo e mínimo de f .
  3. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.

f x = x ln ⁡ x

Passo 1

(a) Para acharmos os intervalos onde nossa função é crescente ou decrescente, vamos ver os pontos onde f ' x > 0 ou f ' x < 0 .

f x = x ln ⁡ x

Derivando,

f ' x = ln ⁡ x + 1

Para f ' x > 0 :

ln ⁡ x + 1 > 0

Logo,

ln ⁡ x > - 1

Resolvendo, temos:

x > 1 e

Assim, nossa função será crescente no intervalo 1 e ,   ∞ .

Para f ' x < 0 :

ln ⁡ x + 1 < 0

Logo,

ln ⁡ x < - 1

Isto é,

x < 1 e

Portanto, nossa função será decrescente no intervalo - ∞ , 1 e

Passo 2

(b) Para acharmos os pontos de máximo e mínimo, basta fazermos f ' x = 0 . Então vamos lá!

f ' x = 0

Logo,

ln ⁡ x + 1 = 0

Passando o - 1   para o outro lado:

ln ⁡ x = - 1

Portanto,

x = 1 e

Do Passo 1, sabemos que de ∞ , 1 e nossa função é decrescente e a partir do 1 e ela começa a crescer. Então podemos afirmar que o ponto x = 1 e será um ponto de mínimo.

f 1 e = 1 e ⋅ ln ⁡ 1 e

Fazendo as contas:

f 1 e = - 1 e

Portanto, o ponto 1 e ,   - 1 e será um ponto de mínimo.

Passo 3

Para verificarmos a inflexão, vamos fazer o teste da segunda derivada.

f ' x = ln ⁡ x + 1

Derivando,

f ' ' x = 1 x

Para f ' ' x > 0 :

1 x > 0

Logo,

x > 0

Assim, nossa curva terá concavidade para baixo no intervalo acima.

Para f ' ' x < 0 :

1 x < 0

Assim,

x < 0

E nossa curva terá concavidade para cima no intervalo acima. Por último, ele nos pede para achar os pontos de inflexão. Logo,

f ' ' x = 0

Assim,

1 x = 0

Repare que a equação acima não tem solução, porque não tem nenhum valor de x que faça 1 x dar zero. Então, não haverá nenhum ponto de inflexão.

Resposta

a)

Decrescente:

- ∞ , 1 e

Crescente:

1 e ,   ∞

b)

Ponto de mínimo:

1 e ,   - 1 e

c)

Côncava para cima:

x < 0

Côncava para baixo:

x > 0

Pontos de inflexão:

Não há nenhum

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use um recurso gráfico computacional para estimar os valores máximo e mínimo absolutos de f , se houver, nos intervalos indicados e use os métodos do Cálculo para obter os valores exatos. f x = x 2 -
Use um recurso gráfico computacional para estimar os valores máximo e mínimo absolutos de f , se houver, nos intervalos indicados e use os métodos do Cálculo para obter os valores exatos. f x = x x 2
Use um recurso gráfico computacional para estimar os valores máximo e mínimo absolutos de f , se houver, nos intervalos indicados e use os métodos do Cálculo para obter os valores exatos. f x = x - 1
Use um recurso gráfico computacional para estimar os valores máximo e mínimo absolutos de f , se houver, nos intervalos indicados e use os métodos do Cálculo para obter os valores exatos. f x = x 2 3
Use um recurso gráfico computacional para estimar os valores máximo e mínimo absolutos de f , se houver, nos intervalos indicados e use os métodos do Cálculo para obter os valores exatos. f x = 2 - co