Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 4.3 - Ex. 20
- Encontre os intervalos nos quais é crescente ou decrescente.
- Encontre os valores de máximo e mínimo de .
- Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Passo 1
(a) Para acharmos os intervalos onde nossa função é crescente ou decrescente, vamos ver os pontos onde ou .
Derivando,
Para :
Logo,
Resolvendo, temos:
Assim, nossa função será crescente no intervalo .
Para :
Logo,
Isto é,
Portanto, nossa função será decrescente no intervalo
Passo 2
(b) Para acharmos os pontos de máximo e mínimo, basta fazermos . Então vamos lá!
Logo,
Passando o para o outro lado:
Portanto,
Do Passo 1, sabemos que de nossa função é decrescente e a partir do ela começa a crescer. Então podemos afirmar que o ponto será um ponto de mínimo.
Fazendo as contas:
Portanto, o ponto será um ponto de mínimo.
Passo 3
Para verificarmos a inflexão, vamos fazer o teste da segunda derivada.
Derivando,
Para :
Logo,
Assim, nossa curva terá concavidade para baixo no intervalo acima.
Para :
Assim,
E nossa curva terá concavidade para cima no intervalo acima. Por último, ele nos pede para achar os pontos de inflexão. Logo,
Assim,
Repare que a equação acima não tem solução, porque não tem nenhum valor de que faça dar zero. Então, não haverá nenhum ponto de inflexão.
Resposta
a)
Decrescente:
Crescente:
b)
Ponto de mínimo:
c)
Côncava para cima:
Côncava para baixo:
Pontos de inflexão:
Não há nenhum