Enunciado

  1. Encontre as assíntotas vertical e horizontal.
  2. Encontre os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente.
  3. Encontre os valores de máximo e mínimo locais
  4. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
  5. Use as informações das partes (a)-(d) para esboçar o gráfico de f

f x = x 2 x 2 - 1

Passo 1

(a) Pra começar ele nos pede para achar as assíntotas vertical e horizontal, mas antes de cair pra dentro vamos analisar o domínio da nossa função.

f x = x 2 x 2 - 1

Repare que a única restrição que temos é que o denominador deve ser diferente de 0 . Assim,

x 2 - 1 ≠ 0

Resolvendo:

x ≠ ± 1

Então o domínio será R - { - 1 ,   1 } . Agora vamos ver como ficam as assíntotas.

  1. Assíntota vertical:
  2. Para acharmos as assíntotas verticais, basta acharmos os pontos x = c tais que:

    lim x → c ⁡ f x = ± ∞

    Repare que na nossa função isso só ocorre quando o denominador fica igual a 0 . Logo,

    x 2 - 1 = 0 → x = ± 1

    Isso quer dizer que as assíntotas verticais são:

    x = 1 e x = - 1

  3. Assíntotas horizontal:

Se nossa função possuir assíntotas horizontais, basta vermos qual valor do limite quando x → ∞ . olha só:

L = lim x → ∞ ⁡ x 2 x 2 - 1

Como quando x → ∞ o termo x 2 fica bem maior que o - 1 podemos desprezar o - 1 .

L = lim x → ∞ ⁡ x 2 x 2 = 1

Logo, a reta y = 1 será uma assíntota horizontal.

Passo 2

b) Para acharmos os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente. Vamos analisar o sinal da primeira derivada.

f x = x 2 x 2 - 1

Derivando,

f ' x = 2 x x 2 - 1 - x 2 2 x x 2 - 1 2

Isto é,

f ' x = - 2 x x 2 - 1 2

Para f ' x > 0 :

- 2 x x 2 - 1 2 > 0

Logo,

- x > 0 → x < 0

Então nossa função será crescente no intervalo x < 0 .

Para f ' x < 0 :

- 2 x x 2 - 1 2 < 0

Assim,

- x < 0 → x > 0

Então nossa função será decrescente no intervalo x > 0 .

Passo 3

Para acharmos os pontos de máximo e mínimo, basta fazermos f ' x = 0 . Então vamos lá!

f ' x = 0

Como já achamos f ' ( x ) :

- 2 x x 2 - 1 2 = 0

Portanto,

- 2 x = 0 → x = 0

Para sabermos se esse é um ponto de máximo ou mínimo, bastas analisarmos o que achamos no Passo 1. Como para x < 0 nossa função é decrescente e para x > 0 nossa função é crescente isso significa que em x = 0 temos um ponto de mínimo.

f 0 = 0 2 0 2 - 1 = - 1

Assim, o ponto ( 0 , - 1 ) será um ponto de mínimo.

Passo 4

Agora temos que achar os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão. Para isso, vamos achar f ' ' x

f ' x = - 2 x x 2 - 1 2

Derivando,

f ' ' x = - 2 ⋅ x 2 - 1 2 - - 2 x ⋅ 2 x 2 - 1 ⋅ 2 x x 2 - 1 4

Assim,

f ' ' x = 6 x 2 + 2 x 2 - 1 3

Para f ' ' x > 0 :

6 x 2 + 2 x 2 - 1 3 > 0

Como 6 x 2 + 2 e x 2 - 1 2 é sempre positivo:

1 x - 1 > 0

Logo,

x > 1

Assim, nossa curva terá concavidade para baixo no intervalo acima.

Para f ' ' x < 0 :

6 x 2 + 2 x 2 - 1 3 < 0

Fazendo a mesma simplificação anterior:

1 x - 1 < 0

Isto é,

x < 1

E nossa curva terá concavidade para cima no intervalo acima. Por último, ele nos pede para achar os pontos de inflexão. Logo,

f ' ' x = 0

Assim,

6 x 2 + 2 x 2 - 1 3 = 0

Repare que a equação acima não tem solução, porque o termo 6 x 2 + 2 é sempre positivo. Então, não haverá nenhum ponto de inflexão.

Passo 5

Pra finalizar, vamos esboçar um gráfico. Olha só:

Resposta

a)

Assíntotas horizontais:

x = 1 e x = - 1

Assíntotas verticais:

y = 1

b)

Decrescente:

x > 0

Crescente:

x < 0

c)

Ponto de mínimo:

0 , - 1

d)

Côncava para cima:

x < 1

Côncava para baixo:

x > 1

e) Gráfico de f :

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