Enunciado

  1. Encontre os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente.
  2. Encontre os valores máximo e mínimo local de f .
  3. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.

f x = x 2 x 2 + 3

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade. Aqui iremos trabalhar os pontos importantes da função.

Passo 2

  1. Para achar os intervalos em que a função é crescente ou decresente vamos calcular a primeira derivada, e analisar os sinais:
  2. f ' x = x 2 x 2 + 3 '

    Vamos usar as regras de derivação da função constante, da divisão e do polinômio:

    c ' = 0

    f x g x ' = f ' x g x - f x g ' x g x 2

    x n ' = n x n - 1

    Passo 3

    Vamos agora aplicar:

    f ' x = x 2 x 2 + 3 ' = x 2 ' . x 2 + 3 - x 2 . x 2 + 3 ' x 2 + 3 2

    = 2 . x 2 - 1 . x 2 + 3 - x 2 . 2 . x 2 - 1 + 0 x 2 + 3 2

    = 2 x x 2 + 3 - x 2 . 2 x x 2 + 3 2

    = 2 x 3 + 6 x - 2 x 3 x 2 + 3 2

    = 6 x x 2 + 3 2

    O denominador é sempre positivo, então o sinal de f ' ( x ) vai ser determinado pelo numerador:

    Então para o intervalo, se f ' ( x )   > 0 temos um trecho crescente e caso f ' ( x ) < 0 temos um intervalo decrescente.

    Passo 3

  3. Para ser um ponto de máximo ou mínimo local, o sinal de f ' deve mudar nesse ponto.
  4. Vemos que em x = 0 há mudança do sinal de f ' de negativo para positivo. como em x = 0 o sinal muda de negativo para positivo, então ele é um ponto de mínimo local.

    Para achar os valores é só substituir os valores em f :

    f 0 = 5 - 3 . 0 2 + 0 3 = 0 2 0 2 + 3 = 0

    Passo 4

  5. Para achar os intervalos de concavidade devemos achar f ' ' ( x ) e analisar os sinal, aqui usaremos também a regra da cadeia:

F ' x = f ' g x . g ' x

Vamos lá então:

f ' ' x = 6 x x 2 + 3 2 '

b

= f ' x g x - f x g ' x g x 2

= 6 x ' . x 2 + 3 2 - 6 x . x 2 + 3 2 ' x 2 + 3 2 2

= 6 . x 1 - 1 . x 2 + 3 2 - 6 x . 2 . x 2 + 3 2 - 1 . x 2 + 3 ' x 2 + 3 4

= 6 x 2 + 3 2 - 12 x x 2 + 3 2 x 2 - 1 + 0 x 2 + 3 4

= 6 x 2 + 3 2 - 12 x x 2 + 3 2 x x 2 + 3 4

= 6 x 2 + 3 2 - 24 x 2 x 2 + 3 x 2 + 3 4

= 6 x 2 + 3 - 24 x 2 x 2 + 3 3

= 6 x 2 + 18 - 24 x 2 x 2 + 3 3

= 18 - 18 x 2 x 2 + 3 3

= - 18 - 1 + x 2 x 2 + 3 3

= - 18 x + 1 x - 1 x 2 + 3 3

O denominador é sempre positivo, então o sinal de f ' ( x ) vai ser determinado pelo numerador:

Para achar os pontos de inflexão devamos fazer f ' ' x = 0 :

f ' ' x = - 18 x + 1 x - 1 x 2 + 3 3 = 0

- 18 x + 1 x - 1 = 0

x + 1 x - 1 = 0

x = 1 e x = - 1

Para garantir que x = ± 1 é ponto de inflexão, devemos ver se f ( ± 1 ) existe:

f ± 1 = ± 1 2 ± 1 2 + 3 = 1 4

Temos que o ponto de inflexão é ± 1 , 1 4 .

Resposta

  1. Decrescente em - ∞ , 0 e Crescente em 0 , ∞
  2. f 0 = 0 é mínimo local
  3. Concavidade para baixo em - ∞ , - 1 e 1 , ∞ e para cima em - 1,1 e ponto de inflexão é ± 1 , 1 4
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Determine os intervalos nos quais a função f x = a x 2 + b x + c ,a ≠ 0 , é crescente e aqueles em que é decrescente. Descreva o raciocínio que sustenta a sua resposta.
Localize e identifique os valores extremos absolutos de: a) l n ⁡ ( cos ⁡ x )e mπ 4 , π 3 b) cos ⁡ ( ln ⁡ x )e m1 2 , 2
Determine os valores das constantes a, b, c e d de modo que f x = a x 3 + b x 2 + c x + d tenha um máximo local no ponto (0,0) e um mínimo local no ponto (1,-1).
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Discuta o comportamento de valor extremo da função f x = xs e n 1 x ,x ≠ 0 . Quantos pontos críticos ela possui? Onde estão localizados no eixo x? f tem um mínimo absoluto? Um máximo absoluto?