Enunciado

Calcule a integral

int_1^2 (4 + u^2)/(u^3) d u

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom.. queremos calcular a seguinte ntegral:

int_1^2 (4 + u^2)/(u^3) d u

Então... Temos uma integral definida e sabemos que, pelo Teorema Fundamental do Cálculo:

int_a^b f (u) d u = F (b) - F (a)

Em que F ' = f .

Também devemos saber que a derivada da secante é:

(d)/(d u) ln u = (1)/(u)

Com isso, podemos concluir que a antiderivada do logaritmo natural de u é (1)/(u) !!

Além disso, lembre-se também que:

int_a^b u^n d u = (u^(n + 1))/(n + 1) [[[b],[a]]]

Agora vamos lá!! 😉

Passo 2

Antes da gente resolver esta integral, vamos brincar um pouco com a álgebra a fim de facilitar nossa vida, vamos lá:

int_1^2 (4 + u^2)/(u^3) d u = int_1^2 ((4)/(u^3) + (u^2)/(u^3)) d u = int_1^2 (4 u^(- 3) + (1)/(u)) d u

Agora, vamos dividir esta integral em duas, usando a propriedade da soma

int_1^2 (4 u^(- 3) + (1)/(u)) d u = int_1^2 4 u^(- 3) d u + int_1^2 (1)/(u) d u

Agora, ficou mais simples a gente resolver!!

Passo 3

Aplicando o conceito da antiderivada e o Teorema Fundamental do Cálculo, temos:

int_1^2 4 u^(- 3) d u + int_1^2 (1)/(u) d u = [(4 u^(- 3 + 1))/(- 3 + 1)]_1^2 + [ln (u)]_1^2

= [- 2 u^(- 2)]_1^2 + [ln (u)]_1^2

Agora, como os limites de integração são iguais, vamos juntar as duas expressões em uma só

[- 2 u^(- 2)]_1^2 + [ln (u)]_1^2

= [ln (u) - (2)/(u^2)]_1^2

= [ln (2) - (2)/(4)] - [ln (1) - (2)/(1)]

= ln (2) - (1)/(2) + 2

= ln (2) + (3)/(2)

Entendeu direitinho?? Responde aee😉

Resposta

int_1^2 (4 + u^2)/(u^3) d u = ln (2) + (3)/(2)

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