Enunciado

Encontre: (a) os intervalos nos quais f é crescente, (b) os intervalos nos quais f é decrescente, (c) os intervalos abertos nos quais f é côncava para cima, (d) os intervalos abertos nos quais f é côncava para baixo, (e) as coordenadas x de todos os pontos de inflexão.

31. f x = arctan ⁡ ( x 2 - 1 )

Passo 1

Podemos responder sem grandes dificuldades todos os itens apenas analisando o gráfico:

Passo 2

(a)Aqui, pra determinarmos o ponto em que f começa a ser crescente, precisamos encontrar os pontos em que a derivada da função se anula (pontos de mínimo e de máximo).

A partir disso, visualizando o gáfico, determinamos os pontos iniciais dos intervalos em que a função cresce. Teremos:

f ' x = 2 x x 4 - 2 x 2 + 2 ≡ 0

2 x = 0

x = 0

Logo, a partir de x = 0   a função passa a crescer, até (+) infinito. O intervalo será:

( 0   + ∞ )

Passo 3

(b)A função é decrescente desde (-) infinito até o ponto de mínimo x = 0 . O intervalo é:

( - ∞ ,   0 )

Passo 4

(c) f tem concavidade voltada pra cima a partir do primeiro ponto de inflexão em x = - 1,10 , até o segundo ponto de inflexão em x = 1,10 . Logo, o intervalo será:

- 1,10 ,   1,10

Passo 5

(d) f é côncava pra baixo desde (-) infinito até o ponto de inflexão em x = - 1,10 . Torna à concavidade pra baixo a partir do segundo ponto de inflexão em x = 1,10 . Logo, o intervalo é

- ∞ ,   - 1,10 ∪ ( 1 , 10 ,   + ∞ )

Passo 6

(e)Os pontos de inflexão se calculam igualando a derivada segunda da função a zero. Teremos:

f ' ' x = 2 ( - 3 x 4 + 2 x 2 + 2 ) x 4 - 2 x 2 + 2 2 = 0

- 3 x 4 + 2 x 2 + 2 = 0

Consideramos:

x 4 = y 2

x 2 = y

Por bhaskara, teremos:

3 y 2 - 2 y - 2 = 0

y 1 = 2 + 4 + 4 ∙ 3 ∙ 2 6 ≅ 1,22

y 2 = 2 - 4 + 4 ∙ 3 ∙ 2 6 ≅ - 0,55

Assim:

x 1 = y 1 = 1,10

x 2 = y 2 = - 0,55 ∉ R

Nisso, valem como pontos de inflexão x = 1,10 e x = - 1,10 , o simétrico em relação ao eixo y .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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55. Em cada parte, encontre funções f e g que sejam crescentes em - ∞ ,+ ∞ e com as quais f - g tem a propriedade indicada.c) f - g é crescente em - ∞ ,+ ∞ .
55. Em cada parte, encontre funções f e g que sejam crescentes em - ∞ ,+ ∞ e com as quais f - g tem a propriedade indicada.a) f - g é decrescente em - ∞ ,+ ∞ .
56. Em cada parte, encontre funções f e g que sejam positivas e crescentes em - ∞ ,+ ∞ e com as quais f g tem a propriedade indicada.c) f g é crescente em - ∞ ,+ ∞ .
47-48. Use um recurso computacional para gerar os gráficos de f ' e f ' ' no intervalo indicado; use os gráficos para estimar as coordenadas x dos pontos de inflexão de f , os intervalos nos quais f é
Use a definição 4.1.1 para provar que f x = 1 x é decrescente em 0 ,+ ∞ .