Enunciado

(a) Encontre os intervalos em que a função é crescente ou decrescente.

(b) Encontre os valores máximos ou mínimos locais.

(c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.

(d) Use as informações das partes (a)-(c) para esboçar o gráfico. Verifique seu trabalho com uma ferramenta gráfica, se você tiver uma.

f x = 2 + 3 x - x 3

Passo 1

Item a:

Uma função é crescente quando sua derivada é positiva e decrescente quando sua derivada é negativa. Portanto, para avaliar os intervalos onde f é crescente ou decrescente, vamos obter a derivada e analisar o seu sinal:

f ' x = - 3 x 2 + 3

f ' x = 3 1 - x 2

Para f ' x > 0 :

3 1 - x 2 > 0

1 - x 2 > 0

1 > x 2

x < 1

- 1 < x < 1

Para f ' x < 0 :

3 1 - x 2 < 0

1 - x 2 < 0

1 < x 2

x > 1

x < - 1 ou   x > 1

Portanto, f é decrescente para valores de x nos intervalos - ∞ , - 1 e 1 , ∞ e crescente no intervalo - 1,1 .

Passo 2

Item b:

Os pontos onde a derivada é zero, pontos críticos são:

f ' x = 0

3 1 - x 2 = 0

1 - x 2 = 0

1 = x 2

x = 1

x = - 1 ou   x = 1

Como f decresce até x = - 1 e cresce a partir dele, x = - 1 é ponto de mínimo local.

Como f cresce até x = 1 e decresce a partir dele, x = 1 é ponto de máximo local.

Passo 3

Item c:

A concavidade de uma função é indicada pelo sinal da derivada segunda. Quando a derivada segunda é positiva, a função possui concavidade voltada para cima e quando a derivada segunda é negativa, a função possui concavidade voltada para baixo. Então devemos obter a derivada segunda e estudar o seu sinal:

f ' ' x = - 6 x

Para f ' ' x > 0

- 6 x > 0

x < 0

Para f ' ' x < 0

- 6 x < 0

x > 0

Logo, f possui concavidade para baixo para valores de x no intervalo 0 , ∞ e concavidade para cima para valores de x no intervalo - ∞ , 0 . E o ponto de inflexão é x = 0 .

Passo 4

Item d:

Com as informações obtidas, temos o gráfico:

Resposta

(a) f é decrescente para valores de x nos intervalos - ∞ , - 1 e 1 , ∞ e crescente no intervalo - 1,1 .

(b) x = - 1 é ponto de mínimo local e x = 1 é ponto de máximo local.

(c) f possui concavidade para baixo para valores de x no intervalo 0 , ∞ e concavidade para cima para valores de x no intervalo - ∞ , 0 . E o ponto de inflexão é x = 0 .

(d)

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