Calcule a integral.

∫ r e r / 2 d r

Passo 1

Nesse exercício iremos resolver a seguinte integral:

∫ r e r / 2 d r

Pra fazer isso vamos fazer por partes, usando o seguinte

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Pessoal, vamos lembrar as prioridades para a substituição de u .

Usamos seguimos a ordem do famoso principio LIATE, que quer dizer:

L ogaritmo

I nversa

A lgebrica (polinomial)

T rigonometrica

E xponencial

Neste exercício, temos uma parte exponencial e uma polinomial. Então, por LIATE, vamos usar a polinomial para o valor de u .

u = r → d u = d r

E o que sobrou

d v = e r / 2 d r → v = 2 e r / 2

Show! Agora vamos lá! 😉

Passo 2

Vamos derivar u :

u = r ∴

d u = d r

Agora vamos integrar o d v :

d v = e r / 2 d r ∴

∫ d v = ∫ e r / 2 d r ∴

v = 2 e r / 2

Agora sim podemos aplicar na integração por partes!! 😉

Passo 3

Aplicando a integração por partes, temos:

∫ r   e r / 2 d r = r 2 e r / 2 - ∫ 2 e r / 2 d r

A última integral é tranquila de fazer também!

∫ e r / 2 d r = 2 e r / 2

Voltando pra integral que o exercício pede

∫ r   e r / 2 d r = 2 r e r / 2 - 2 ( 2 e r / 2 )

E pra finalizar, não esquece da constante C !

∫ r   e r / 2 d r = 2 r e r / 2 - 4 e r / 2 + C

Show! Terminamos mais uma :D

Resposta

∫ r   e r / 2 d r = 2 r e r / 2 - 4 e r / 2 + C

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