Enunciado

Encontre o limite ou demonstre que não existe.

lim x → ∞ ⁡ x 2 x 4 + 1

Passo 1

Opa, vamos fazer essa questão! Temos que calcular o seguinte limite:

lim x → ∞ ⁡ x 2 x 4 + 1

Ou então, provar que ele não existe!

lim x → ∞ ⁡ x 2 x 4 + 1 = ∞ ∞

Temos uma indeterminação, então precisamos de alguma técnica pra resolver, alguma manipulação matemática que faça a indeterminação sumir.

Tem uma tática muito legal pra usar quando estamos tendendo pro infinito que é manipular a fórmula pra que apareçam termos fracionários com constantes finitas no numerador e a variável no numerador.

l i m x → ∞ 1 x = 0

Esses termos são nulos, então a gente consegue simplificar tudo bastante.

Passo 2

Nossa função é:

x 2 x 4 + 1

Para isso vamos olhar pra nossa função e procurar a variável de maior grau. Aqui é x 4 , mas como ele tá dentro da raiz, vamos usar x 2 . Agora vamos dividir todo mundo por x 2 :

x 2 x 2 x 4 + 1 x 2

Temos que x 4 = x 2 , então:

x 2 x 2 x 4 + 1 x 2 = x 2 x 2 x 4 x 4 + 1 x 4

Simplificando:

1 1 + 1 x 4

Passo 3

Lembrando que:

  • O limite da divisão é a divisão dos limites
  • O limite da soma é a soma dos limites
  • O limite da raiz é a raiz do limite

l i m x → ∞ 1 1 + 1 x 4 = l i m x → ∞ 1 l i m x → ∞ 1 + l i m x → ∞ 1 x 4

O limite de uma constante é a própria constante:

1 1 + l i m x → ∞ 1 x 4

E como vimos no passo 1, conseguimos anular o termo que tem um valor finito dividido pela variável. Lembra que uma divisão por tende a zero?

l i m x → ∞ 1 x 4 = 0

Assim, temos:

1 1 + l i m x → ∞ 1 x 4 = 1 1 + 0 = 1  

E nossa resposta é:

lim x → ∞ ⁡ x 2 x 4 + 1 = 1

Resposta

lim x → ∞ ⁡ x 2 x 4 + 1 = 1

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