Enunciado

Encontre o limite ou demonstre que ele não existe:

lim t → ∞ ⁡ t + t 2 2 t - t 2

Passo 1

Bom galera, o primeiro passo pra calcular limites é sempre substituir o valor pro qual a variável tende:

lim t → ∞ ⁡ t + t 2 2 t - t 2 = ∞ ∞

O problema é que achamos uma indeterminação! E agora?

Pra esse problema a gente já tem que saber uma coisinha sobre limite tendendo a infinito que é:

lim t → �� ⁡ a t b = 0

Hmmmm e se a gente conseguisse anular vários termos com isso? Nós conseguimos!

Repara na carinha desse termo: é uma constante dividida por uma potência de t . Se a gente fizer esses termoa aparecerem, a gente simplifica bem a expressão.

E a estratégia pra fazer isso é dividir tudo pela maior potência de t .

Passo 2

Beleza, a gente pega a função dentro do limite e coloca em evidência o t que tá elevado ao maior número, fica bem assim:

lim t → ∞ ⁡ t + t 2 2 t - t 2 = lim t → ∞ ⁡ t 2 t t 2 + 1 t 2 2 t t 2 - 1

Arrumando os expoentes dentro dos parênteses:

= lim t → ∞ ⁡ t 2 1 t 3 2 + 1 t 2 2 t - 1

Cortando t 2 :

= lim t → ∞ ⁡ 1 t 3 2 + 1 2 t - 1

Passo 3

Pronto, agora lembra que a gente pode aplicar o limite separadamente em uma soma, produto ou quociente?

lim t → ∞ ⁡ 1 t 3 2 + 1 2 t - 1 = l i m t → ∞ 1 t 3 2 + l i m t → ∞ 1 l i m t → ∞ 2 t - l i m t → ∞ 1

Os limites de constante são iguais às próprias constantes:

l i m t → ∞ 1 t 3 2 + l i m t → ∞ 1 l i m t → ∞ 2 t - l i m t → ∞ 1 = l i m t → ∞ 1 t 3 2 + 1 l i m t → ∞ 2 t - 1

E agora a mágica que falamos lá no passo 1. Esses termos se anulam:

l i m t → ∞ 1 t 3 2 = 0

l i m t → ∞ 2 t = 0

Então a expressão fica:

l i m t → ∞ 1 t 3 2 + 1 l i m t → ∞ 2 t - 1 = 0 + 1 0 - 1 = - 1

Portanto,

lim t → ∞ ⁡ t + t 2 2 t - t 2 = - 1

E aí? Entendeu tudinho?

Resposta

lim t → ∞ ⁡ t + t 2 2 t - t 2 = - 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o limite ou explique por que ele não existe. lim x → π ⁡c o s 2 ( x-t gx )
Determine o limite ou explique por que ele não existe. lim x → π ⁡s e n ( x 2+s e nx )
determine o limite de g(x) quando x se aproxima do valor indicado. lim x → 5 ⁡ 1 x+g ( x )=2
Determine o limite ou explique por que ele não existe. lim x → 1 ⁡ x 1 3-1 x- 1
Determine o limite ou explique por que ele não existe. lim x → 0 ⁡c o s2 x-1 s e n2 x