Encontre o limite

lim x → ∞ ⁡ 9 x 6 - x x 3 + 1

Passo 1

Bom galera, nesse exercício estamos interessados encontrar o limite de:

lim x → ∞ ⁡ 9 x 6 - x x 3 + 1

Como o não é um número que podemos substituir, vamos usar a nossa imaginação! Então no lugar de x = ∞ você pode fazer uma conta rápida substituindo um x enorme, como 10000 .

Como temos um polinômio no numerador e denominador vamos ter que usar algumas técnicas! Uma bem legal é ter em mente que:

c ∞ = 0

Ou seja, se a gente divide uma constante por um número muito grande, a função tende a zero!

Mas vamos entender mais a fundo esse tipo de problema!

Passo 2

Uma coisa que podemos fazer aqui é dividir o numerador e o denominador por x 3 , que é o termo de maior expoente. Para o numerador, x 3 = x 6 :

l i m x → ∞ 9 x 6 - x x 6 x 3 + 1 x 3 = l i m x → ∞ 9 x 6 - x x 6 1 + 1 x 3

= l i m x → ∞ 9 - x x 6 1 + 1 x 3 = l i m x → ∞ 9 - 1 x 5 1 + 1 x 3

Agora, iremos aplicar a propriedade de divisão e soma de limites para poder simplificar nosso limite:

l i m x → ∞ 9 - 1 x 5 1 + 1 x 3 = l i m x → ∞ 9 - l i m x → ∞ 1 x 5 l i m x → ∞ 1 + l i m x → ∞ 1 x 3

Após aplicar as propriedades, iremos substituir o valor do limite em cada termo, ficando com:

l i m x → ∞ 9 - l i m x → ∞ 1 x 5 l i m x → ∞ 1 + l i m x → ∞ 1 x 3 = 9 - 0 1 + 0 = 3

Prontinho!!!

Resposta

lim x → ∞ ⁡ 9 x 6 - x x 3 + 1 = 3

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