Enunciado

Encontre o limite

underset(x -> oo)(lim) (sqrt(9 x^6 - x))/(x^3 + 1)

Passo 1

Bom galera, nesse exercício estamos interessados encontrar o limite de:

underset(x -> oo)(lim) (sqrt(9 x^6 - x))/(x^3 + 1)

Como o oo não é um número que podemos substituir, vamos usar a nossa imaginação! Então no lugar de x = oo você pode fazer uma conta rápida substituindo um x enorme, como 10000 .

Como temos um polinômio no numerador e denominador vamos ter que usar algumas técnicas! Uma bem legal é ter em mente que:

(c)/(oo) = 0

Ou seja, se a gente divide uma constante por um número muito grande, a função tende a zero!

Mas vamos entender mais a fundo esse tipo de problema!

Passo 2

Uma coisa que podemos fazer aqui é dividir o numerador e o denominador por x^3 , que é o termo de maior expoente. Para o numerador, x^3 = sqrt(x^6) :

underset(x -> oo)(l i m) ((sqrt(9 x^6 - x))/(sqrt(x^6)))/((x^3 + 1)/(x^3)) = underset(x -> oo)(l i m) (sqrt((9 x^6 - x)/(x^6)))/(1 + (1)/(x^3))

= underset(x -> oo)(l i m) (sqrt(9 - (x)/(x^6)))/(1 + (1)/(x^3)) = underset(x -> oo)(l i m) (sqrt(9 - (1)/(x^5)))/(1 + (1)/(x^3))

Agora, iremos aplicar a propriedade de divisão e soma de limites para poder simplificar nosso limite:

underset(x -> oo)(l i m) (sqrt(9 - (1)/(x^5)))/(1 + (1)/(x^3)) = (sqrt(underset(x -> oo)(l i m) 9 - underset(x -> oo)(l i m) (1)/(x^5)))/(underset(x -> oo)(l i m) 1 + underset(x -> oo)(l i m) (1)/(x^3))

Após aplicar as propriedades, iremos substituir o valor do limite em cada termo, ficando com:

(sqrt(underset(x -> oo)(l i m) 9 - underset(x -> oo)(l i m) (1)/(x^5)))/(underset(x -> oo)(l i m) 1 + underset(x -> oo)(l i m) (1)/(x^3)) = (sqrt(9 - 0))/(1 + 0) = 3

Prontinho!!!

Resposta

underset(x -> oo)(lim) (sqrt(9 x^6 - x))/(x^3 + 1) = 3

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