Enunciado

Determine o limite ou explique porque ele não existe

Passo 1

Observando o limite, dá pra perceber que vamos precisar de algumas regrinhas, então vamos já relembrando antes de iniciar, blz ?

Partxiu ?

Como temos uma divisão, precisamos usar a regra do quociente, ou seja,

lim x → 0 ⁡ x 2 - 4 x + 4 x 3 + 5 x - 14 x   =   l i m x → 0 ( x 2 - 4 x + 4 ) l i m x → 0 ( x 3 + 5 x - 14 x )  

Usando as regras da soma e da subtração,

l i m x → 0 ( x 2 - 4 x + 4 ) l i m x → 0 ( x 3 + 5 x - 14 x )   =   l i m x → 0 x 2 - l i m x → 0 4 x + l i m x → 0 4 l i m x → 0 x 3 + l i m x → 0 5 x - l i m x → 0 14 x  

Substituindo os valores,

l i m x → 0 x 2 - l i m x → 0 4 x + l i m x → 0 4 l i m x → 0 x 3 + l i m x → 0 5 x - l i m x → 0 14 x   = 0 0  

Temos uma indeterminação. Então vamos tentar consertar nossa função para valores de x ≠ 0

Usando Bhaskara no numerador, podemos encontrar as raízes e lembrar que ( x 2 - 4 x + 4 ) = x - 2 x - 2   .

Já no denominador, pondo x em evidencia e depois usando Bhaskara, x 3 + 5 x - 14 x =   x x + 7 x - 2   .  

Substituindo no nosso limite,

lim x → 0 ⁡ x 2 - 4 x + 4 x 3 + 5 x - 14 x   =   l i m x → 0 x - 2 x - 2 x x + 7 x - 2 =   l i m x → 0 x - 2 x x + 7 =   - 2 0

Passo 2

Nesse caso, o limite explode. Mas precisamos analisar se ou - ∞ .   Para isso, vamos olhar os limites laterais na penúltima igualdade somente, pra não precisar repetir as contas. Blz?

  • À esquerda de zero, temos
  • l i m x → 0 -   x - 2 x x + 7 = - - 2 0 ( 0 + 7 )

    Nesse caso estamos com números negativos, então o denominador negativo, ou seja

    - 2 n e g a t i v o = n e g a t i v o n e g a t i v o = p o s i t i v o

    Então , l i m x → 0 -   x - 2 x x + 7 = ∞

  • À direita de zero, estamos com números positivos, então o denominador é positivo, então

- 2 p o s i t i v o   = n e g a t i v o p o s i t i v o   = n e g a t i v o

Isso nos diz que

l i m x → 0 +   x - 2 x x + 7 = - ∞

Sendo assim, lim x → 0 ⁡ x 2 - 4 x + 4 x 3 + 5 x - 14 x   tal que x ≠ 2 não existe.

Resposta

lim x → 0 ⁡ x 2 - 4 x + 4 x 3 + 5 x - 14 x   tal que x ≠ 2 não existe

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