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Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart - Capítulo 4.4 - Ex. 46

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desse livro

Encontre o limite. Use a regra de L’Hospital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê.

lim x → ∞ ⁡ x   t g   ( 1 / x )

Passo 1

A questão pede para calcularmos o limite usando, se for possível, a regra de L’Hospital. Vale lembrar que só podemos usar essa regra se o limite for indeterminado do tipo 0/0 ou / . Se der para resolver o limite sem usar a regra, devemos fazer assim!!!

Passo 2

Quando x → ∞ , t g 1 / x → 0 , de modo que o limite é indeterminado. Todavia, para aplicarmos a regra de L’Hospital, a indeterminação deve estar na forma 0/0 ou / . Vamos fazer uma mudança de variável: t = 1 / x . Assim, quando x → ∞ , t → 0 . Além disso, x = 1 / t . Assim, o limite fica:

lim x → ∞ ⁡ x   t g   ( 1 / x ) = lim t → 0 ⁡ t g   t t

Agora a indeterminação é do tipo 0/0, de modo que podemos aplicar a regra de L’Hospital.

Passo 3

Aplicando a regra, temos que

lim t → 0 ⁡ t g   t t = lim t → 0 ⁡ sec 2 ⁡ t 1 = lim t → 0 ⁡ 1 cos 2 ⁡ t = 1

Assim,

lim x → ∞ ⁡ x   t g   ( 1 / x ) = 1

Resposta

1 .

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