Enunciado

Encontre o limite . Use a regra de L’Hôpital quando for apropriado . Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a regra de L’Hôpital não se aplicar, o porquê.

lim x → 0 + ⁡   1 x - 1 e x - 1 = l i m x → 0 +

Passo 1

Vamos aplicar o limite para ver se já tá na cara de L’Hôpital, para a gente poder usar, ou se não, a gente fazer a mudança necessária, beleza?

Vamos lá !

lim x → 0 + ⁡   = 0 - ∞  

Não podemos aplicar L’Hôpital, pois ele só é usado em indeterminações da forma 0 0 ou ∞ ∞ .

Então vamos tentar deixar nossas contas com essa cara.

Passo 2

A gente tem que tornar nossos limite um quociente. Parece difícil né ? Mas não!

É só a gente lembrar de uma paradinha (não é Anitta é apenas calcular o M.M.C). Partiu!

lim x → 0 + ⁡   1 x - 1 e x - 1 = l i m x → 0 + e x - 1 - x x e x - 1    

Passo 3

Como

l i m x → 0 + e x - 1 - x x e x - 1 = 0 0

Então vale L’Hôpital . Daí,

  l i m x → 0 + e x - 1 - x x e x - 1 = l i m x → 0 + e x - 1 ( e x - 1 ) + x e x  

Mas,

l i m x → 0 + e x - 1 ( e x - 1 ) + x e ^ x   = 0 0

Usando de novo ,

l i m x → 0 + e x - 1 ( e x - 1 ) + x e x   = l i m x → 0 + e x 2 e x +   x e x   = 1 2  

Resposta

Portanto, temos que:

l i m x → 0 + e x 2 e x +   x e x   = 1 2  

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos exercícios de 1 a 18, calcule o limite, se existir. lim x → π 2 ⁡ 1 1 - s e n x - 1 ( cos 2 x ⁡ )
Nos exercícios de 1 a 18, calcule o limite, se existir. lim x → π 2 ⁡ s e n 2 x t g x
Nos exercícios de 1 a 18, calcule o limite, se existir. lim x → + ∞ ⁡ x . l n x + 1 x - 1
Nos exercícios de 1 a 18, calcule o limite, se existir. lim x → 0 ⁡ e - 1 + x 1 x x
Nos exercícios de 1 a 18, calcule o limite, se existir. lim t → ∞ ⁡ ln ⁡ 1 + e 2 t t t 1 2