Enunciado

Encontre o limite. Use a Regra de L'Hôspital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a Regra de L'Hôspital não for aplicável, explique por quê.

lim x → 0 ⁡ x - sen ⁡ x x - tg ⁡ x

Passo 1

Queremos encontrar o limite de:

lim x → 0 ⁡ x - sen ⁡ x x - tg ⁡ x

Primeiramente vamos verificar se há a existência de uma indeterminação:

lim x → 0 ⁡ x - sen ⁡ x x - tg ⁡ x → 0 - sen ⁡ 0 0 - tg ⁡ 0 → 0 0

Temos a indeterminação da forma 0 0 , vamos então aplicar a Regra de L'Hôspital.

Passo 2

Vamos derivar o numerador e o denominador separadamente:

lim x → 0 ⁡ x - sen ⁡ x x - tg ⁡ x = lim x → 0 ⁡ x 1 - 1 - cos ⁡ x x 1 - 1 - sec 2 ⁡ x

= lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x 1 - sec 2 ⁡ x → 1 - cos ⁡ 0 1 - sec 2 ⁡ 0 → 0 0

Vamos usar L'Hôspital mais uma vez:

lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x 1 - sec 2 ⁡ x = lim x → 0 ⁡ 0 - - sen ⁡ x 0 - 2 sec 2 - 1 ⁡ x . sec ⁡ x . tg ⁡ x

= lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x - 2 ⁡ sec ⁡ x . sec ⁡ x . tg ⁡ x

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x - 2 ⁡ sec ⁡ x tg ⁡ x = lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x - 2 . ⁡ 1 cos ��� x . sen ⁡ x cos ⁡ x = lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x - 2 sen ⁡ x cos 2 ⁡ x

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x . cos 2 ⁡ x - 2 sen ⁡ x = lim x → 0 ⁡ cos 2 ⁡ x - 2 = cos 2 ⁡ 0 - 2 = - 1 2

Prontinhooo!

lim x → 0 ⁡ x - sen ⁡ x x - tg ⁡ x = - 1 2

Resposta

lim x → 0 ⁡ x - sen ⁡ x x - tg ⁡ x = - 1 2

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Use a regra de L’Hôpital para determinar o limite: lim x → 0 ⁡ 3 x - 1 2 x - 1
Use a regra de L’Hôpital para determinar o limite: lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ ( e x - 1 ) ln ⁡ x
Use a regra de L’Hôpital para determinar o limite: lim x → 0 +( ⁡ 3 x + 1 x - 1 s e nx)
Use a regra de L’Hôpital para determinar o limite: lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ ( x + 1 ) log 2 ⁡ x
Use a regra de L’Hôpital para determinar o limite: lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ ( x 2 + 2 x ) ln ⁡ x