Enunciado

Encontre o limite. Use a regra de L’Hospital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê.

lim x → 0 + ⁡ 4 x + 1 c o t g   x

Passo 1

Opa! Bora pra mais uma questão?! Aqui temos que encontrar o limite de:

lim x → 0 + ⁡ 4 x + 1 c o t g   x

O problema nos pede pra a gente usar o método mais elementar possível e se não pudermos devemos usar a Regra de L'Hôspital. Vamos começar tentando resolver direto, apenas substituindo o x :

lim x → 0 + ⁡ 0 + 1 c o t g   0 + = 1 ∞

Para usar a Regra de L'Hôspital precisamos de uma indeterminação do tipo   0 0 ou ∞ ∞ , não é o nosso caso.

Passo 2

Podemos tentar manipular a nossa função pra chegar em uma indeterminação adequada! Repara que a nossa função tem o formato:

y = f x g ( x )

Então pode ser legal fazer   y = e ln ⁡ y . Assim:

y = f x g ( x ) = e ln ⁡ f x g ( x ) = e ln ⁡ 4 x + 1 c o t g   x

Substituindo:

lim x → 0 + ⁡ 4 x + 1 c o t g   x =   lim x → 0 + ⁡ e ln ⁡ 4 x + 1 c o t g   x

Como e é uma constante, podemos também fazer:

lim x → 0 + ⁡ e ln ⁡ 4 x + 1 c o t g   x = e lim x → 0 + ⁡   ln ⁡ 4 x + 1 c o t g   x

Usando a regra do peteleco de logaritmo:

ln ⁡ 4 x + 1 c o t g   x = c o t g   x ln ⁡ 4 x + 1

Logo:

e lim x → 0 + ⁡   c o t g   x ln ⁡ 4 x + 1

Assim, o que devemos realmente calular é

lim x → 0 + ⁡   c o t g   x ln ⁡ 4 x + 1

Podemos ainda reescrever:

lim x → 0 + ⁡   c o t g   x ln ⁡ 4 x + 1 = lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ ( 4 x + 1 ) t g   x

Agora sim, a gente pode fazer o teste de novo!

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ ( 4 x + 1 ) t g   x = 0 0

Prontinho! Podemos usar a Regra de L'Hôspital!

Passo 3

Pela regra de L'Hôspital temos que:

lim x → a ⁡ g x h x = lim x → a ⁡ g ' x h ' x  

Derivando, temos:

g ' x = d ln ⁡ ( 4 x + 1 ) d x = 4 4 x + 1      

h ' x = d t g   x d x = sec 2 ⁡ x

Substituindo:

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ ( 4 x + 1 ) t g   x = lim x → 0 + ⁡ 4 4 x + 1 sec 2 ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ 4 cos 2 ⁡ x 4 x + 1

Finalmente podemos calcular:

lim x → 0 + ⁡ 4 cos 2 ⁡ x 4 x + 1 = 4

Lembrando que:

lim x → 0 + ⁡ 4 x + 1 c o t g   x = e lim x → 0 + ⁡   c o t g   x ln ⁡ 4 x + 1 = e 4

Portanto:

lim x → 0 + ⁡ 4 x + 1 c o t g   x = e 4

Resposta

lim x → 0 + ⁡ 4 x + 1 c o t g   x = e 4

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