Enunciado

A função aceleração (em m/s) e a velocidade inicial são dadas para uma partícula movendo-se ao longo de uma reta. Encontre (a) a velocidade no instante t e (b) a distância pecorrida durante o intervalo de tempo dado.

a t = t + 4 , v 0 = 5 , 0 ≤ t ≤ 10

Passo 1

  1. Vamos lá, queremos a velocidade, devemos lembrar que a velocidade é encontrada integrando a função aceleração, e como foi pedida no instante t , vamos calcular a integral indefinida:
  2. v t = ∫ t + 4     d t = ∫ t   d t + ∫ 4   d t

    Agora é fácil achar as primitivas de cada função, usando três expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

    ∫ c f x d x = c ∫ f x d x

    ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

    ∫ k d x = k x + C

    Passo 2

    Agora é só aplicar, vamos resolver elas separadamente, assim fica mais simples de ver:

    ∫ t   d t = t 1 + 1 1 + 1 = t 2 2 + C

    ∫ 4   d t = 4 t + C

    Agora é só juntar:

    v t = ∫ t   d t + ∫ 4   d t = t 2 2 + 4 t + C

    Agora temos que descobrir o valo da constante C , mas veja bem, nós temos v 0 = 5 , então é só subsitiuir na expressão da velocidade e achamos C :

    v 0 = 0 2 2 + 4 . 0 + C = 5 → C = 5

    Pronto, ficamos então com a expressão da velocidade assim:

    v t = t 2 2 + 4 t + 5 m/s

    Passo 3

  3. Para calcular a distância pecorrida pela partícula devemos resolver a integral da função velocidade, mas com a função em módulo, e foi pedido para encontrar no intervalo de tempo 0 ≤ t ≤ 10 , esses são os nossos limites de integração, vamos calcular então::

∫ 0 10 v t   d t = ∫ 0 10 t 2 2 + 4 t + 5

Ixiii, temos um módulo alí na função, mas calma, só precisamos analisar esse módulo e vai da tudo certo. Vemos que a função não fica negativa não importa qual valor de t , então vamos usar o limite de integração de 0 a 10 com a função t 2 2 + 4 t + 5 = t 2 2 + 4 t + 5 :

∫ 0 10 t 2 2 + 4 t + 5   d t = 1 2 ∙ t 2 + 1 2 + 1 + 4 ∙ t 1 + 1 1 + 1 + 5 t 0 10 = t 3 6 + 2 t 2 + 5 t 0 10 = 10 3 6 + 2 . 10 2 + 5 . 10 - 0 3 6 + 2 . 0 2 + 5 . 0 = 125 0 3

Resposta

  1. A velocidade no instante t é v t = t 2 2 + 4 t + 5 m/s.
  2. A distância pecorrida pela partícula durante o intervalo de tempo dado é 1250 3 m.
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral. ∫ 0 4 ( 3 t - 2 e t )d t
Calcule a integral. ∫ 0 π 5 e x + 3 s e nx d x
Calcule a integral. ∫ 1 2 1 x 2 - 4 x 3d x
Use a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função.9) g ( s ) = ∫ 5 s t - t 2 8 . d t
Use a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função.10) g ( r ) = ∫ 0 r x ² + 4 . d x ²