Enunciado

Encontre o limite. Use a regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a regra de l’Hôspital não se aplicar, o porquê.

l i m x → 0 x - sin ⁡ x x - tan ⁡ x

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar o limite da função. Pra isso, a gente pode usar a regra de L’Hospital. Mas antes, a gente precisa saber se essa regra se aplica ao limite.

Isso porque a regra L’Hospital é geralmente aplicada quando temos uma indeterminação do tipo 0 0 ou ∞ ∞ .

Então, vamos começar verificando o que acontece quando x tende a zero na nossa função:

l i m x → 0 x - sin ⁡ x x - tan ⁡ x = 0 - sin ⁡ 0 0 - tan ⁡ 0 = 0 0

Beleza, temos uma indeterminação do tipo 0 / 0 , então vamos aplicar a regra de L’Hospital para fugir dela. E como é mesmo essa regra? Bom, a gente deriva o numerador e o denominador da função, separadamente (nada de aplicar a regra do quociente na derivação, hein). E a gente faz quantas vezes forem necessárias, para fugir da indeterminação e aplicar o limite.

Então, vamos lá!

Passo 2

Vimos que o limite tá na forma correta, beleza? Então vamos aplicar l’Hôspital. Derivando numerador e denominador separadamente, temos:

l i m x → 0 1 - cos ⁡ x 1 - sec 2 ⁡ x

Mas, aplicando o limite aqui, teremos novamente a indeterminação 0 0 . Então, vamos usar l’Hôspital novamente. Derivando em cima e embaixo, temos:

  l i m x → 0 sin ⁡ x - 2 sec ⁡ x   ⋅ sec ⁡ x ⋅ tan ⁡ x    

Parece sacanagem né? Mas veja só, se aplicarmos x = 0 no limite, temos novamente 0 / 0 . Então vamos usar l’Hôspital de novo, para obter:

=   l i m x → 0   cos ⁡ x - 4 s e c x ⋅ sec ⁡ x ⋅ tan ⁡ x - 2 sec 4 ⁡ x

Agora sim, podemos aplicar o limite:

= 1 0 - 2 =   - 1 2

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

l i m x → 0 x - sin ⁡ x x - tan ⁡ x = - 1 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos exercícios de 1 a 18, calcule o limite, se existir. lim x → 0 + ⁡ c o s e c 2 x - x - 2
Nos exercícios de 1 a 18, calcule o limite, se existir. lim z → π 2 - ⁡ z c o s 3 z cos 2 ⁡ z
Nos exercícios de 1 a 18, calcule o limite, se existir. lim x → 0 ⁡ x - t g - 1 x 4 x 3
Nos exercícios de 1 a 18, calcule o limite, se existir. lim x → + ∞ ⁡ l n ⁡ ( l n x ) l n ⁡ ( x - l n x )
Nos exercícios de 1 a 18, calcule o limite, se existir. lim x → + ∞ ⁡ e x - x 1 x