Enunciado

Use a definição 2 para achar uma expressão para a área sob o gráfico de f como um limite. Não calcule o limite.

f x = sin ⁡ x     ,   0 ≤ x ≤ π

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar uma expressão para a área sob o gráfico da função f x = sin ⁡ x   como um limite, no intervalo [ 0 ,   π ] , usando a definição 2 .

A definição 2 nos diz que:

A área da região S que está sob o gráfico de uma função contínua f é o limite da soma das áreas dos retângulos aproximantes:

A = lim n → ∞ ⁡   R n =     l i m n → ∞   f x 1 Δ x + f x 2 Δ x + ⋯ + f x n Δ x    

Então, A = l i m n → ∞     ∑ i = 0 n   f x i Δ x , onde Δ x = b - a n .

Sendo assim, vamos substituir os dados da função na fórmula do somatório e estimar a área sob o gráfico.

Vamos lá!

Passo 2

Como o nosso intervalo é 0 ≤ x ≤ π , temos a = 0 e b = π . Dessa forma, vamos ter:

Δ x = π - 0 n = π n

Além disso, x i = a + i Δ x , então teremos:

x i = 1 + π i n

Agora aplicando x i em f x = sin ⁡ x   , temos:

f x i = sin ⁡ 1 + π i n  

Então, substituindo na fórmula do somatório, junto com o Δ x , temos:

    l i m n → ∞     ∑ i = 0 n   f x i Δ x =   l i m n → ∞     ∑ i = 1 n sin ⁡ 1 + π i n   ⋅ π n

E encontramos a expressão para a área sob o gráfico de f como um limite. Como não precisa calcular o limite, essa é a nossa resposta final.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

A = l i m n → ∞     ∑ i = 1 n sin ⁡ 1 + π i n   ⋅ π n

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São dados uma função f e os números n, a e b. Aproxime até quatro casas decimais a área da região limitada pela curva y = f x , pelo eixo x e as retas x = a e x = b fazendo o seguinte: divida o interv
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