Enunciado

Encontre a massa de uma casca esferica de raio R de modo que em todo ponto (x, y, z) sobre a superficie a densidade de massa δ ( x , y , z ) seja sua distancia ate um ponto fixo (a, b, c) da superficie.

Passo 1

Faaaaalaaa meus abençoados, tudo blz?

Primeiro vamos ter que configurar o sistema de coordenadas para que ( a , b , c ) seja igual a ( 0 , R , 0 ) assim,

δ x , y , z = x 2 + y - R 2 + z 2 = x 2 + y 2 + z 2 - 2 R y + R 2 = 2 R 2 - 2 R y ;  

Com isso,

f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 - R 2                 e           p = i

∇ F = 2 x i + 2 y j + 2 z k → ∇ F = 2 x 2 + y 2 + z = 2 R

d σ = ∇ F ∇ F . i d z d y = 2 R 2 x d z d y

Passo 2

Agora com isso a massa vai ficar ,

m a s s a = ∫ S ∫ δ x , y , z d σ = ∫ R y z ∫ 2 R 2 - 2 R y R x d z d y

R ∫ R y z ∫ 2 R 2 - 2 R y R 2 - y 2 - z 2 d z d y = 4 R ∫ - R R ∫ 0 R 2 - y 2 2 R 2 - 2 R y R 2 - y 2 - z 2 d z d y

= 4 R ∫ - R R 2 R 2 - 2 R y sin - 1 ⁡ z R 2 - y 2 │ 0 R 2 - y 2 d y

= 2 π R ∫ - R R 2 R 2 - 2 R y d y = 2 π R - 1 3 R 2 R 2 - 2 R y 3 2   │ - R R = 16 π R 3 3

Resposta

16 π R 3 3

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