Enunciado

Calcule a integral de linha

∫ ( 1,1 , 1 ) ( 2,2 , 2 ) 1 y d x + 1 z - x y 2   d y - y z 2 d z

Passo 1

Falaaaaaa meus abençoados, tudo blz?

Então sendo,

f x , y , z = 1 y i + 1 z - x y 2 j - y z 2 k  

∂ P ∂ y = - 1 z 2 = ∂ N ∂ z

∂ M ∂ z = 0 = ∂ P ∂ x

∂ N ∂ x = - 1 y 2 = ∂ M ∂ y

Passo 2

Assim vamos ter que,

M d x + N d y + P d z ,   vai ficar

f x , y , z = x y + g y , z → ∂ F ∂ y = - x y 2 + ∂ g ∂ y = 1 z - x y 2

→ ∂ g ∂ y = 1 z → g y , z = y z   h z → f x , y , z = x y + y z + h ( z )

→ ∂ F ∂ z = - y z 2 + h ' z = - y z 2 → h ' z = 0 → h ( z ) = c

Com isso temos que ,

f x , y , z = x y + y z + c →   ∫ ( 1,1 , 1 ) ( 2,2 , 2 ) 1 y d x + 1 z - x y 2 d y - y z 2 d z

= f 2,2 , 2 - f 1,1 , 1 = 2 2 + 2 2 + C - 1 1 + 1 1 + C = 0

Resposta

0

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