Encontre (∂u/∂y)_x no ponto (u, v) = (raiz(2), 1) , se x = u^2 + v^2 e y = u \* v .

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício encontraremos ∂ u ∂ y x no ponto ( u , v ) = ( 2,1 ) se x = u 2 + v 2 e y = u v .

Passo 2

Seja y = u v , então

1 = v ∂ u ∂ y + u ∂ v ∂ y

Temos também que x = u 2 + v 2 , então

∂ x ∂ y = 0

Passo 3

Assim, a derivada x = u 2 + v 2 será:

0 = 2 u ∂ u ∂ y + 2 v ∂ v ∂ y ∂ v ∂ y = - u v ∂ u ∂ y

Substituindo ∂ v ∂ y = - u v ∂ u ∂ y em 1 = v ∂ u ∂ y + u ∂ v ∂ y temos:

1 = v ∂ u ∂ y + u - u v ∂ u ∂ y = v 2 - u 2 v ∂ u ∂ y ∂ u ∂ y = v v 2 - u 2

Passo 4

No ponto ( u , v ) = ( 2 , 1 ) teremos:

∂ u ∂ y = 1 1 2 - ( 2 ) 2 ∂ u ∂ y = - 1

Resposta

Portanto, obtemos com resposta: ∂ u ∂ y x = - 1

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