Enunciado

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Encontre os pontos nos quais f é descontínua. Em quais desses pontos f é contínua à direita, à esquerda ou em nenhum deles? Esboce o gráfico de f .

f x = x + 2 e x   2 - x   s e   x < 0 s e   0 ≤ x ≤ 1 s e   x > 1

Passo 1

Bom galera, nesse exercício queremos encontrar os valores aonde nossa função f ( x ) é descontínua dentro dos intervalos dados. A nossa função é contínua ao longo do intervalo [ - ∞ ,   0 ] por ser um polinômio. Para o intervalo [ 1 ,   ∞ ] nossa função também é contínua, por também ser também um polinômio. Ao longo do intervalo 0 ,   1 a função também é contínua, por ser uma exponencial. Funções polinomiais e exponenciais são definidas em todos os pontos.

Passo 2

Agora vamos olhar para os pontos extremos dos intervalos. Temos o valor x = 0 em x + 2 e em e x . Aplicamos assim o limite tendendo a 0 - em x + 2 e tendendo a 0 + em e x .

lim x → 0 - ⁡ x + 2 = 2 e lim x → 0 + ⁡ e x = 1

Assim, como os limites laterais são diferentes, a função é descontínua no ponto ( 0,2 ) .

Fazemos o mesmo para o valor x = 1 no intervalo de e x e 2 - x .

lim x → 1 - ⁡ e x = e e lim x → 1 + ⁡ 2 - x = 1

Portanto, nossa função é descontínua no ponto ( 1,1 ) .

Passo 3

Como f 0 = 1   e f 1 = e , nossa função é contínua pela direita no 0 e pela esquerda no 1.

Resposta

Assim, podemos concluir que a nossa função f ( x ) é descontínua nos pontos ( 0,2 ) e no ponto ( 1,1 ) . No ponto ( 0,2 ) , a função é contínua à direita e no ponto ( 1,1 ) , a função é contínua pela esquerda. O gráfico da nossa função f ( x ) fica assim:

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