Enunciado

Encontre os pontos de inflexão do gráfico da função dada, se existirem. Determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde ele é côncavo para baixo. Faça um esboço do gráfico e mostre um segmento da reta tangente ao gráfico nos pontos de inflexão.

f x = x 3 - 6 x 2 + 20

Passo 1

Para analisarmos a concavidade, temos que achar a segunda derivada.

A nossa função é:

f x = x 3 - 6 x 2 + 20

Derivando:

f ' x = 6 x 2 - 12 x

Agora vamos para a segunda derivada:

f ' ' x = 12 x - 12

Para anaisar a concavidade, temos que olhar o sinal dessa segunda derivada.

Passo 2

f ' ' x = 12 x - 12

Quando a segunda derivada for positiva, ela será côncava para cima.

Quando a segunda derivada for negativa, ela será côncava para baixo.

f ' ' x > 0 → c o n c a v a   p a r a   c i m a

f ' ' x < 0 → c o n c a v a   p a r a   b a i x o

Vamos analisar quando essa derivada é positiva:

12 x - 12 > 0 → 12 x > 12 → x > 1

E ela vai ser negativa:

12 x - 12 < 0 → 12 x < 12 → x < 1

Então vamos ter:

f ' ' x > 0 ⟷ x > 1

f ' ' x < 0 ⟷ x < 1

Fazendo a classificação de concavidade:

c o n c a v a   p a r a   c i m a ⟷ x > 1

c o n c a v a   p a r a   b a i x o ⟷ x < 1

Passo 3

Agora vamos analisar os pontos de inflexão.

Para termos ponto de inflexão, devemos ter mudança de concavidade da nossa função.

Isso acontece em x = 1 , logo ele é ponto de inflexão.

Passo 4

Vamos achar a inclinação da reta tangente no ponto dfe inflexão e fazer o esboço do gráfico

f ' 1 = 6 1 2 - 12 1 = 6 - 12 = - 6

Assim ela vai ter uma inclinação 9 , vamos ver o gráfico.

A função está em verde e a tangente em laranja

Resposta

c o n c a v a   p a r a   c i m a ⟷ x > 1

c o n c a v a   p a r a   b a i x o ⟷ x < 1

x = 1 → p o n t o   d e   i n f l e x ã o

f ' 1 = - 6

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