Enunciado

Encontre os quatro primeiros termos diferentes de zero na série de Maclaurin para as funções nos Exercícios 29-34.

cos 2 ⁡ x * s e n   x

Passo 1

Fala pessoal! Tudo bom? Então vamos lá pra mais uma questão de Séries de Taylor!

O que vamos fazer aqui é usar uma série já conhecida de Taylor para definir a função dessa série, e depois adequar para a série que é trazida no enunciado.

As séries que conhecemos que são passíveis de usarmos nesse caso são as seguintes:

s e n   x = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - x 7 7 ! + …

E também usaremos a seguinte:

c o s   x = 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! - x 6 6 ! + …

Passo 2

Usando essa série acima, podemos calcular a série do enunciado, pois

cos 2 ⁡ x * s e n   x = ( cos ⁡ x ) ( cos ⁡ x ) ( s e n   x )

Isso também é equivalente a dizer que:

cos 2 ⁡ x * s e n   x = cos ⁡ x 1 2 ( s e n   2 x )

Podemos assim calcular os quatro primeiros termos da nossa série:

cos 2 ⁡ x * s e n   x = 1 2 * 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! - x 6 6 ! + … * 2 x - 2 x 3 3 ! + 2 x 5 5 ! - 2 x 7 7 ! + …

Passo 3

Simplificando matematicamente, temos que:

cos 2 ⁡ x * s e n   x = x - 7 6 x 3 + 61 120 x 5 - 1247 5040 x 7 + …

Resposta

cos 2 ⁡ x * s e n   x = x - 7 6 x 3 + 61 120 x 5 - 1247 5040 x 7 + …

Valeu galera! Nos vemos na próxima questão!

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